Eksponenta macierzy

Eksponenta macierzy – funkcja macierzowa zdefiniowana dla macierzy kwadratowych analogicznie jak klasyczna funkcja wykładnicza. Eksponentą macierzy rzeczywistej lub zespolonej ${\displaystyle X}$ wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ jest macierz wymiaru ${\displaystyle n\times n,}$ oznaczana jako ${\displaystyle e^{X}}$ albo ${\displaystyle \exp(X),}$ zadana przez szereg potęgowy:

${\displaystyle e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,X^{k},}$

przy czym przyjmuje się:

• ${\displaystyle X^{0}=I,}$
• w szczególności ${\displaystyle 0^{0}=I,}$

gdzie ${\displaystyle I}$ – macierz jednostkowa ${\displaystyle n\times n,}$ ${\displaystyle 0}$ – macierz zerowa ${\displaystyle n\times n.}$

Twierdzenia I

Oznaczenia:

• ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ – dowolne macierze zespolone ${\displaystyle n\times n}$
• ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ – dowolne liczby zespolone

Twierdzenia:

(1) ${\displaystyle e^{0}=I}$

(2) ${\displaystyle e^{X^{T}}=(e^{X})^{T}}$

gdzie ${\displaystyle X^{T}}$ – macierz transponowana macierzy ${\displaystyle X}$

(3) ${\displaystyle e^{X^{\dagger }}=(e^{X})^{\dagger }}$

gdzie ${\displaystyle X^{\dagger }}$ – macierz hermitowsko sprzężona do macierzy ${\displaystyle X}$

(4) Jeżeli macierz ${\displaystyle Y}$ jest odwracalna, to ${\displaystyle e^{YXY^{-1}}=Ye^{X}Y^{-1}}$

(5) Jeżeli macierze ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ komutują (tzn. ich mnożenie jest przemienne, ${\displaystyle XY=YX}$), to

${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}}$

Z tw. (5) wynika, że:

(6) ${\displaystyle e^{X}e^{-X}=e^{0}=I}$

(7) ${\displaystyle e^{aX}e^{bX}=e^{(a+b)X}}$

Twierdzenia II

(8) Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest macierzą symetryczną, to ${\displaystyle e^{X}}$ jest macierzą symetryczną.

(9) Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest macierzą antysymetryczną, to ${\displaystyle e^{X}}$ jest macierzą ortogonalną.

(10) Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest macierzą hermitowską, to ${\displaystyle e^{X}}$ jest macierzą hermitowską.

(11) Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest macierzą antyhermitowską, to ${\displaystyle e^{X}}$ jest macierzą unitarną.

Obliczanie eksponenty macierzy

Macierz diagonalna

Jeżeli macierz jest diagonalna

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}},}$

to

${\displaystyle e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\ldots &0\\0&e^{a_{2}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}.}$

Macierz diagonalizowalna

Jeżeli macierz można zdiagonalizować do postaci

${\displaystyle A=UDU^{-1},}$

gdzie ${\displaystyle D}$ – macierz diagonalna, to z tw. (4) wynika, że

${\displaystyle e^{A}=Ue^{D}U^{-1}.}$

Zobacz też

• diagonalizacja macierzy
• macierz przejścia (automatyka)