Elementy minimalny i maksymalny

Elementem minimalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym nazywamy każdy taki element że nie ma w elementów mniejszych od niego. Symbolicznie:

Dualnie, elementem maksymalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym nazywamy każdy taki element że nie ma w elementów większych od niego. Symbolicznie:

Uwagi

  • W zbiorze częściowo uporządkowanym może istnieć więcej niż jeden element minimalny.
  • Element minimalny nie musi być najmniejszym. Jeśli jednak w zbiorze istnieje element najmniejszy, to jest on równocześnie minimalny, i jest to wtedy jedyny element minimalny w tym zbiorze. Jeżeli w zbiorze istnieje dokładnie jeden element minimalny, to nie musi on być elementem najmniejszym.

Analogiczne własności ma element maksymalny.

Przykłady

  • Rozważmy zbiór gdzie oznacza zbiór liczb naturalnych {1, 2, 3,...}, a relacja częściowego porządku określona jest następująco:
Z definicji wynika m.in., że   i nieprawda, że np.
Jedynym elementem maksymalnym tej relacji jest −1, elementami minimalnymi są −1 oraz 1. W porządku tym nie ma elementu najmniejszego ani największego.
  • W zbiorze wszystkich rzek rozważmy relację częściowego porządku ‘<’ zdefiniowaną jako jest dopływem. Mamy na przykład:
„Białka” < „Dunajec” < „Wisła”
„Poprad” < „Dunajec” < „Wisła”
„Noteć” < „Warta” < „Odra”
„Moskwa” < „Oka” < „Wołga”
„Otava” < „Wełtawa” < „Łaba”
Elementem maksymalnym w tym porządku jest każda rzeka, która nie jest dopływem innej rzeki – Wisła, Odra... Z przykładu widać, że istnieje wiele elementów maksymalnych i nie ma największego (byłaby nim rzeka, do której wpadają wszystkie inne). Elementami minimalnymi porządku są wszystkie rzeki, które nie mają dopływów, a elementu najmniejszego nie ma (byłaby nim rzeka wpadająca do każdej innej – bezpośrednio lub poprzez inny dopływ).
Uwaga: aby uznać ten przykład za poprawny model, należałoby przyjąć, że każda rzeka wpada do siebie samej.

Zobacz też