Elipsoida naprężeń Lamégo

Elipsoida naprężeń Lamégo – graficzna reprezentacja stanu naprężenia w pewnym punkcie ośrodka, alternatywna do koła Mohra. Elipsoida ta jest miejscem geometrycznym końców wektorów naprężenia ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}.}$ Jej pojęcie zostało wprowadzone przez Cauchy’ego i Lamego w okresie powstawania teorii sprężystości (około 1820–1830)^[1].

Konstrukcja

Wektor naprężenia ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$ (gdzie ${\displaystyle \mathbf {n} }$ jest wektorem normalnym) w dowolnym punkcie ${\displaystyle P}$ może być zapisany jako:

${\displaystyle T_{1}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{1}n_{1},\qquad T_{2}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{2}n_{2},\qquad T_{3}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{3}n_{3},}$

gdzie ${\displaystyle \sigma _{1}n_{1},~~\sigma _{2}n_{2},~~\sigma _{3}n_{3}}$ – naprężenia główne.

Zgodnie z własnością wektora normalnego możemy napisać:

${\displaystyle n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1=\left({\frac {T_{1}}{\sigma _{1}^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {T_{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {T_{3}}{\sigma _{3}^{2}}}\right)^{2}.}$

Otrzymujemy równanie elipsoidy o środku zgodnym z zadanym układem współrzędnych i półosiach ${\displaystyle \pm \sigma _{1},\pm \sigma _{2},\pm \sigma _{3}.}$

Interpretacja

W odniesieniu do powstałej konstrukcji niezmienniki stanów naprężenia ${\displaystyle I_{1},}$ ${\displaystyle I_{2},}$ ${\displaystyle I_{3}}$ można interpretować następująco:

• ${\displaystyle I_{1}}$ – jest sumą trzech półosi elipsoidy naprężeń,
• ${\displaystyle I_{2}}$ – jest proporcjonalne do sumy pól trzech przekrojów głównych elipsoidy,
• ${\displaystyle I_{3}}$ – jest proporcjonalne do objętości elipsoidy.

Zobacz też

• elipsoida bezwładności
• koło Mohra

Przypisy