Fala stojąca

Fala stojąca w ośrodku stacjonarnym. Punkty oznaczają węzły fali
Fala stojąca (czarna) będąca złożeniem dwóch fal biegnących w tym samym kierunku, ale o przeciwnych zwrotach (czerwona i niebieska)

Fala stojącafala, której grzbiety i doliny nie przemieszczają się. Fala stojąca powstaje na skutek interferencji dwóch takich samych fal poruszających się w tym samym kierunku, lecz o przeciwnych zwrotach. Zwykle efekt ten powstaje np. poprzez nałożenie na falę biegnącą fali odbitej.

Fala stojąca to w istocie drgania ośrodka, nazywane też drganiami normalnymi. Idealna fala stojąca różni się od fali biegnącej tym, że nie ma tu propagacji drgań, nie występuje zatem np. czoło fali. Miejsca, gdzie amplituda fali osiąga maksima nazywane są strzałkami, zaś te, w których amplituda jest zawsze zerowa, węzłami fali stojącej. Rysunek obok przedstawia idealną (zupełną) falę stojącą. W przypadku niewielkiej niezgodności częstotliwości węzły i strzałki mogą się przesuwać. Jeżeli występuje pewna niezgodność amplitud, wówczas nie ma pełnego wygaszenia drgań w węzłach.

Fala biegnąca (inaczej fala bieżąca) jest to fala, której punkty o jednakowej fazie (np. grzbiety) poruszają się.

Ruchomy ośrodek

Fale stojące mogą powstawać również w ośrodkach poruszających się. Wówczas węzły pozostają nieruchome względem ośrodka. Przykładem fali stojącej w poruszającym się ośrodku są fale atmosferyczne powstające w powietrzu przy odpowiednich warunkach meteorologicznych, po zawietrznej stronie łańcuchów górskich. Tego typu fale często są wykorzystywane przez pilotów szybowców.

Fala stojąca a interferencja

Fala stojąca powstaje dzięki interferencji fal składowych. Interferencja jest nakładaniem się fal prowadzącym do wzmocnień i wygaszeń amplitudy.

Równanie fali stojącej

Równanie fali stojącej będącej sumą dwóch fal biegnących w przeciwnych zwrotach

gdzie:

– wartość bezwzględna z jest amplitudą drgań w miejscu

Amplituda drgań osiąga największe wartości (równe ) dla położeń spełniających warunek

gdzie W tych miejscach ośrodek drga najsilniej (powstają strzałki). Położenie węzłów można znaleźć z równania:

Struna zamocowana na dwóch końcach

Fala wzbudzona na obustronnie zamocowanej strunie powstaje na skutek nakładania się (interferencji) fali biegnącej w kierunku zamocowania z falą odbitą. Z oczywistych względów na umocowanych końcach powstają węzły fali.

Zastosowanie wyprowadzonych równań do opisu fali stojącej w takiej strunie wymaga nałożenia na te równania warunków brzegowych (powstawanie węzłów na końcach). Z warunku, że dla powstaje pierwszy () węzeł wynika, że

Z warunku, że dla (gdzie jest długością struny) powstaje również węzeł, wynika:

gdzie (może to być drugi lub kolejny węzeł).

Warunki te oznaczają, że w strunie mogą istnieć tylko drgania o określonej liczbie falowej warunkom tym odpowiada, że równanie fali może być opisane wzorem:

Długość takiej fali określona jest wzorem:

Prędkość rozchodzenia się fali (prędkość fazowa) jest równa:

skąd wynika, że:

gdzie

Ze wzoru tego wynika, że jeżeli prędkość fali w strunie nie zależy od długości fali, to mogą w niej powstawać drgania o częstotliwości równej wielokrotności drgań częstotliwości podstawowej.

Każde drganie struny można zapisać jako sumę drgań składowych w postaci

Drganie o najmniejszej częstotliwości nazywa się drganiem podstawowym, drgania o kolejnych częstotliwościach – wyższymi składowymi harmonicznymi.

Struna zamocowana w jednym końcu

Gdy fala dochodzi do swobodnego końca struny, też się odbija. Na niezamocowany koniec struny nie działa siła, dlatego ten koniec struny musi być równoległy do osi struny niedrgającej. Oznacza to, że na swobodnym końcu powstaje strzałka fali stojącej.

Długość takiej fali określona jest w tej sytuacji wzorem:

i

Wartości jakie może przybierać częstość w strunie zamocowanej tylko z jednego końca () są nieparzystymi wielokrotnościami częstości podstawowej.

Zjawisko odbicia sygnału od swobodnego (otwartego) lub zwartego końca linii przesyłowej powoduje powstawanie w niej fali stojącej, która utrudnia przesyłanie sygnałów w liniach transmisyjnych. Przeciwdziała się mu poprzez instalowanie na końcach linii elementów zapobiegających odbiciom, tzw. terminatorów.

Znaczenie zjawiska

Linia Lechera z 1902 roku, przyrząd służący do wytwarzania stojącej fali radiowej pomiędzy dwoma przewodami.

Zjawisko powstawania fali stojącej wykorzystywane jest w urządzeniach wytwarzających drgania, w celu wzmacniania fal o określonej częstotliwości (wnęka rezonansowa, pudło rezonansowe) w instrumentach muzycznych (piszczałki w organach), technice fal radiowych i mikrofalowych.

Fala stojąca powstaje też poprzez odbijanie się sygnału transmitowanego w linii przesyłowej i stanowi zjawisko utrudniające transmisję sygnałów. Dla linii takich określa się „współczynnik fali stojącej”, określający stosunek amplitudy fali stojącej powstającej w linii przesyłowej do amplitudy fali przesyłanej.

Fala stojąca powstaje też w rezonatorze lasera, gdzie odbija się od zwierciadła na końcu rezonatora i interferuje z falą padającą tworząc falę stojącą.

Prezentacja fali stojącej

Do prezentacji zjawiska fali stojącej, tak wizualnej, jak i akustycznej, opracowano wiele różnych pokazów, w tym najpopularniejsze:

Zobacz też

Bibliografia

  • F.C. Crawford, Fale, PWN 1973.

Media użyte na tej stronie

Standing wave.gif
Animation of standing wave in the stationary medium with marked wave nodes.
Early Lecher line.png
Drawing of an early demonstration Lecher line apparatus, from a 1902 catalog of scientific equipment. It is very similar to the first Lecher line built by Austrian physicist Ernst Lecher in 1888. A Lecher line is a pair of parallel wires or rods that were used to measure the wavelength of radio waves. In this example, the radio waves are generated by the Hertzian spark-gap oacillator (right) and sent down the Lecher line, the pair of parallel wires to the left. The Lecher line forms a length of balanced transmission line, along which the waves travel at the speed of light. At the left end of the line the two wires are connected together. This short-circuit termination reflects the waves back up the line toward the transmitter. The outgoing and reflected waves interfere with each other, creating a series of standing waves on the line. The voltage across the line goes to zero at nodes that occur at regular intervals of one-half wavelength (λ/2) from the end of the line. The distance between two nodes is measured and multiplied by two to get the wavelength λ. Since the waves travel at the speed of light, c, the frequency of the waves f can be calculated:

To find the location of the nodes, a Geissler tube, similar to a small neon light, is suspended from hooks across the line and slid up and down the line. The high voltage waves cause it to glow. At the nodes the voltage goes to zero so the Geissler tube goes out. The inset (top left) shows the type of Geissler tubes that were used with Lecher lines.

The Hertzian oscillator (right) generated radio waves in the UHF range, with wavelengths of a few meters, so a 6 meter Lecher line was used (the length is truncated in this drawing). The oscillator consists of an induction coil that generates a high voltage that jumps across a spark gap (center) many times per second. The two sides of the spark gap are coupled to the Lecher line through two parallel-plate capacitors (circles). The energy stored in the capacitors is discharged into the line during each spark, generating a brief oscillating radio wave (damped wave) that decays to zero. The symmetrical balanced circuit ensures that equal and opposite voltage waves are induced in each wire.

Alterations to image: extended the length of the Lecher line, which was misleadingly shortened to several inches long in the original drawing to save space. Added inset showing closeup of Geissler tubes from nearby drawing in same source.