Forma modularna

Forma modularna – funkcja zmiennej zespolonej spełniająca pewien warunek regularności, pewne równanie funkcyjne oraz o ograniczonym wzroście. Formy modularne można rozpatrywać jako daleko posunięte uogólnienie funkcji okresowych. Teoria form modularnych jest bardzo bogata i należy w zasadzie do analizy zespolonej, ale najważniejsze zastosowania te obiekty mają we współczesnej teorii liczb i teorii reprezentacji, tam też ujawniają swoje najgłębsze własności. Formy modularne w naturalny sposób pojawiają się w bardzo wielu gałęziach matematyki, np. w geometrii algebraicznej czy teorii strun.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle N}$ będzie dodatnią liczbą naturalną. Grupa modularna ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ zdefiniowana jest w sposób następujący:

${\displaystyle \Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{2}(\mathbb {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}.}$

Niech ${\displaystyle k}$ będzie dodatnią liczbą naturalną. Formą modularną ciężaru ${\displaystyle k}$ poziomu ${\displaystyle N}$ nazywa się funkcję holomorficzną określoną na górnej półpłaszczyźnie zespolonej ${\displaystyle \mathbb {H} }$ taką, że dla każdego

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)}$

i dowolnego ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ zachodzi

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$

oraz ${\displaystyle f}$ jest holomorficzna w ostrzach.

Wersje definicji

W literaturze matematycznej występuje wiele definicji form modularnych, niektóre z nich różnią się między sobą poziomem ogólności. Nie wykrystalizowała się dotychczas „kanoniczna” definicja formy modularnej. Definicja podana powyżej wydaje się najbardziej ogólną z wielu spotykanych wariantów.

Własności

Łatwo zauważyć (biorąc w definicji ${\displaystyle a=b=d=1,\ c=0}$), że każda forma modularna spełnia równanie

${\displaystyle f(z+1)=f(z),}$

tak więc można ją rozwinąć w szereg Fouriera. W teorii form modularnych przyjęło się rozważać ten szereg jako szereg Laurenta względem zmiennej ${\displaystyle q=exp(2\pi iz).}$ Ze względu na warunek holomorficzności, rozwinięcie takie musi mieć skończoną liczbę wyrazów przy ujemnych potęgach, przedstawia się więc wzorem:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }c_{n}\exp(2\pi inz)=\sum _{n=-m}^{\infty }c_{n}q^{n},}$

gdzie przyjmuje się, że ${\displaystyle m}$ jest najmniejszą liczbą taką, że ${\displaystyle c_{-m}\neq 0.}$ Liczbę ${\displaystyle m}$ nazywamy rzędem osobliwości w biegunie ${\displaystyle i\infty }$.

Zobacz też

• forma automorficzna

Bibliografia

• J.S. Milne, Modular functions and modular forms, notatki do wykładu.