Forma modularna

Forma modularnafunkcja zmiennej zespolonej spełniająca pewien warunek regularności, pewne równanie funkcyjne oraz o ograniczonym wzroście. Formy modularne można rozpatrywać jako daleko posunięte uogólnienie funkcji okresowych. Teoria form modularnych jest bardzo bogata i należy w zasadzie do analizy zespolonej, ale najważniejsze zastosowania te obiekty mają we współczesnej teorii liczb i teorii reprezentacji, tam też ujawniają swoje najgłębsze własności. Formy modularne w naturalny sposób pojawiają się w bardzo wielu gałęziach matematyki, np. w geometrii algebraicznej czy teorii strun.

Definicja formalna

Niech będzie dodatnią liczbą naturalną. Grupa modularna zdefiniowana jest w sposób następujący:

Niech będzie dodatnią liczbą naturalną. Formą modularną ciężaru poziomu nazywa się funkcję holomorficzną określoną na górnej półpłaszczyźnie zespolonej taką, że dla każdego

i dowolnego zachodzi

oraz jest holomorficzna w ostrzach.

Wersje definicji

W literaturze matematycznej występuje wiele definicji form modularnych, niektóre z nich różnią się między sobą poziomem ogólności. Nie wykrystalizowała się dotychczas „kanoniczna” definicja formy modularnej. Definicja podana powyżej wydaje się najbardziej ogólną z wielu spotykanych wariantów.

Własności

Łatwo zauważyć (biorąc w definicji ), że każda forma modularna spełnia równanie

tak więc można ją rozwinąć w szereg Fouriera. W teorii form modularnych przyjęło się rozważać ten szereg jako szereg Laurenta względem zmiennej Ze względu na warunek holomorficzności, rozwinięcie takie musi mieć skończoną liczbę wyrazów przy ujemnych potęgach, przedstawia się więc wzorem:

gdzie przyjmuje się, że jest najmniejszą liczbą taką, że Liczbę nazywamy rzędem osobliwości w biegunie .

Zobacz też

  • forma automorficzna

Bibliografia