Forma różniczkowa

Forma różniczkowa (krótko k-forma) – rodzaj funkcji związanej z rachunkiem różniczkowym i całkowym na rozmaitościach. Forma różniczkowa bywa definiowana jako rodzaj pola tensorowego – pole antysymetryczne i kowariantne^[1].

Podstawą rachunku form różniczkowych jest tzw. lemat Poincarego. Rachunek form różniczkowych jest często wykorzystywany w fizyce do całkowania pracy, strumieni pola (magnetycznego, grawitacyjnego itp.) przechodzących przez powierzchnię, potencjałów pól itp. Pojęcie formy różniczkowej formalizuje te operacje z matematycznego punktu widzenia.

W dalszej części artykułu niech ${\displaystyle k}$ będzie ustaloną liczbą naturalną (wymiarem przestrzeni dla której definiowane będą formy) oraz niech ${\displaystyle P}$ będzie ustalonym domkniętym (zwartym) przedziałem wielowymiarowym w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}.}$

Definicja

k-płatem klasy ${\displaystyle C_{r}}$ (ang. singular cube of k dimensions) w zbiorze ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{k}}$ nazywa się funkcję różniczkowalną ${\displaystyle s_{k}\colon P\to \Omega }$ klasy ${\displaystyle C_{r},}$ ${\displaystyle r\geqslant 0.}$ W przypadku, gdy ${\displaystyle k=0,}$ to za ${\displaystyle s_{k}}$ przyjmuje się punkt w zbiorze ${\displaystyle \Omega .}$ Wygodnie jest dokonywać utożsamienia ${\displaystyle s_{k}=(P,\Phi ),}$ tzn. traktować ${\displaystyle s_{k}}$ jako parę złożoną ze zbioru argumentów ${\displaystyle P}$ oraz odwzorowania ${\displaystyle \Phi }$ klasy ${\displaystyle C_{r}}$ pewnego otoczenia otwartego zbioru ${\displaystyle P}$ (utożsamienie to nawiązuje do procesu parametryzacji krzywej na płaszczyźnie czy w przestrzeni).

Niech ${\displaystyle n\geqslant k}$ będzie liczbą naturalną oraz ${\displaystyle a_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ będą funkcjami klasy ${\displaystyle C^{p}}$ zmiennej ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.}$ W przypadku, gdy ${\displaystyle k=0}$ zdefiniujemy

${\displaystyle \omega =a_{0}(x).}$

Ponadto, niech ${\displaystyle s_{k}=(P,\Phi )}$ będzie ${\displaystyle k}$-płatem w ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$ Formą różniczkową (rzędu ${\displaystyle k}$ albo k-formą) postaci

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{i_{k}=1}^{n}a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(x)dx_{i_{1}}\wedge dx_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\qquad \qquad (*)}$

nazywa się funkcję ${\displaystyle \omega ,}$ która płatowi ${\displaystyle s_{k}}$ przyporządkowuje liczbę

${\displaystyle \langle s_{k},\omega \rangle =\sum _{i_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{i_{k}=1}^{n}\int \limits _{P}a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(\Phi (t))\cdot \det \left[{\frac {\partial x_{i_{p}}}{\partial t^{m}}}\right]_{p,m=1,\dots ,k}\lambda ^{k}(dt),}$

gdzie ${\displaystyle \lambda ^{k}}$ oznacza miarę Lebesgue’a w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ oraz ${\displaystyle t=(t_{1},\dots ,t_{k}).}$ Wzór ${\displaystyle (*)}$ można przedstawić w niesłychanie przejrzysty sposób za pomocą konwencji sumacyjnej Einsteina:

${\displaystyle \omega =a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(x)\ \ dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.}$

Oznaczając krótko ${\displaystyle I=(i_{1},\dots ,i_{k}),}$ gdzie ${\displaystyle 0\leqslant i_{m}\leqslant n}$ oraz ${\displaystyle dx_{I}:=dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}},}$ formy różniczkowe można zapisywać krótko w postaci

${\displaystyle \omega =\sum _{I}a_{I}(x)\,dx_{I}.}$

Liczbę ${\displaystyle \langle s_{k},\omega \rangle }$ oznacza się krótko symbolem

${\displaystyle \int \limits _{\Phi }\omega }$

i nazywa całką z formy ${\displaystyle \omega }$ względem ${\displaystyle \Phi .}$ W przypadku, gdy ${\displaystyle k=1}$ całkę tę nazywa się po prostu całką krzywoliniową. Formy różniczkowe są funkcjami w zbiorze płatów, a więc można punktowo wprowadzić działania dodawania i mnożenia przez skalar form różniczkowych; innymi słowy rodzina form różniczkowych (przy ustalonych ${\displaystyle k}$ i ${\displaystyle n}$) tworzy przestrzeń liniową.

Przykład

Niech ${\displaystyle \gamma }$ będzie taką krzywą klasy ${\displaystyle C_{1}}$ na płaszczyźnie, że

${\displaystyle \gamma =\{(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))\colon \,0\leqslant t\leqslant 1\}}$

oraz niech dana będzie forma ${\displaystyle \omega =xdy+ydx.}$ Wówczas

${\displaystyle \int \limits _{\gamma }\omega =\int _{0}^{1}[\gamma _{1}(t)\gamma _{2}'(t)+\gamma _{2}(t)\gamma _{1}'(t)]dt=\gamma _{1}(1)\gamma _{2}(1)-\gamma _{1}(0)\gamma _{2}(0).}$

Wartość całki krzywoliniowej w powyższym przypadku nie zależy od kształtu krzywej, a jedynie od jej punktów końcowych. W szczególności, całka po krzywej zamkniętej zeruje się.

Podstawowe własności

• Wyrażenie ${\displaystyle dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}}$ zmienia znak na przeciwny przy zamianie sąsiednich symboli ${\displaystyle dx_{i_{m}}}$ i ${\displaystyle dx_{i_{m+1}}.}$
• Każdą formę różniczkową można sprowadzić do postaci kanonicznej, tzn. takiej postaci, że funkcje ${\displaystyle a_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ są, być może, różne od zera tylko dla ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}.}$ Bezpośrednią konsekwencją tego faktu jest warunek równości dwu form – dwie formy różniczkowe są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie współczynniki w ich postaciach kanonicznych są równe. Ponadto, dla ${\displaystyle k>n}$ każda forma ${\displaystyle \omega }$ postaci jak wyżej jest równa zeru.

Iloczyn zewnętrzny form. Algebra zewnętrzna

Jeżeli ${\displaystyle \omega }$ i ${\displaystyle \eta }$ są, odpowiednio, ${\displaystyle k{\text{-}}}$ i ${\displaystyle m}$-formami postaci

${\displaystyle \omega =\sum _{I}a_{I}dx_{I},\quad \eta =\sum _{J}b_{J}dx_{J},}$

to można wprowadzić tzw. iloczyn zewnętrzny form ${\displaystyle \omega }$ i ${\displaystyle \eta ,}$ tzn. ${\displaystyle (k+m)}$-formę ${\displaystyle \omega \wedge \eta }$ daną wzorem

${\displaystyle \omega \wedge \eta =\sum _{I,J}a_{i_{1},\dots ,i_{k}}b_{j_{1},\dots ,j_{m}}dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\wedge dx_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{j_{m}}.}$

Iloczyn zewnętrzny ma następujące własności:

• ${\displaystyle (\omega _{1}\wedge \omega _{2})\wedge \omega _{3}=\omega _{1}\wedge (\omega _{2}\wedge \omega _{3}),}$
• ${\displaystyle (\omega _{1}+\omega _{2})\wedge \omega _{3}=\omega _{1}\wedge \omega _{3}+\omega _{2}\wedge \omega _{3},}$
• Jeżeli ${\displaystyle \omega _{1}}$ jest ${\displaystyle k}$-formą, ${\displaystyle \omega _{2}}$ jest ${\displaystyle m}$-formą, to

${\displaystyle \omega _{1}\wedge \omega _{2}=(-1)^{km}(\omega _{2}\wedge \omega _{1}).}$

Niech symbol ${\displaystyle \upsilon _{k}(\Omega )}$ oznacza zbiór wszystkich ${\displaystyle k}$-form na ${\displaystyle \Omega }$ klasy ${\displaystyle C^{\infty }}$ oraz

${\displaystyle \upsilon (\Omega )=\bigcup _{k=0}^{n}\upsilon _{k}(\Omega ).}$

Oczywiście ${\displaystyle \upsilon _{k}(\Omega )=\{0\}}$ dla ${\displaystyle k>n.}$ ${\displaystyle \upsilon (\Omega )}$ jest domknięty na dodawanie i mnożenie przez skalary (tworzy przestrzeń liniową wymiaru ${\displaystyle 2^{n}}$). Ponadto, jest on domknięty na operację iloczynu zewnętrznego form wraz z którym tworzy algebrę, nazywaną algebrą zewnętrzną.

Różniczka zewnętrzna formy

Jeżeli ${\displaystyle \omega }$ jest ${\displaystyle 0}$-formą klasy ${\displaystyle C^{\infty }}$ na ${\displaystyle \Omega ,}$ tzn. ${\displaystyle \omega =a,}$ gdzie ${\displaystyle a}$ jest funkcją klasy ${\displaystyle C^{\infty }}$ na ${\displaystyle \Omega ,}$ to jej różniczką zewnętrzną (nazywaną również różniczką zupełną) nazywa się 1-formę postaci

${\displaystyle d\omega (x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial a(x)}{\partial x_{i}}}dx_{i}.}$

Jeżeli natomiast ${\displaystyle \omega }$ jest ${\displaystyle k}$-formą ${\displaystyle (k>0)}$ postaci

${\displaystyle \omega =\sum _{I}a_{I}dx_{I},}$

to jej różniczką zewnętrzną nazywa się ${\displaystyle (k+1)}$-formę postaci

${\displaystyle d\omega =\sum _{I}(da_{I})\wedge dx_{I}..}$

Na mocy powyższego, operator różniczkowania zewnętrznego form jest odwzorowaniem ${\displaystyle d\colon \upsilon _{k}(\Omega )\to \upsilon _{k+1}(\Omega ).}$ Operacja ta ma ponadto, następujące własności:

• jeżeli ${\displaystyle \omega }$ jest ${\displaystyle k}$-formą, ${\displaystyle \eta }$ jest ${\displaystyle l}$-formą, to

${\displaystyle d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge d\eta ,}$

• jeżeli ${\displaystyle \omega \in \upsilon (\Omega ),}$ to ${\displaystyle d^{2}\omega =d(d\omega )=0.}$

Zobacz też

• algebra zewnętrzna

Przypisy

Bibliografia

• Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976, s. 424–431.
• Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: PWN, 1998, s. 213–229. ISBN 83-01-02846-7.