Formuła trójczłonowa

Formuła (reguła) trójczłonowa – własność rodzin wielomianów ortogonalnych.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle P_{n}(x),}$ gdzie ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ będzie rodziną rzeczywistych wielomianów ortogonalnych. Spełniona jest wówczas zależność:

${\displaystyle xP_{n}(x)=a_{n,n}P_{n}(x)+a_{n-1,n}P_{n-1}(x)+a_{n+1,n}P_{n+1}(x),}$

gdzie ${\displaystyle a_{n,m}={\frac {\langle xP_{m},P_{n}\rangle }{\|P_{n}\|^{2}}}}$ oraz ${\displaystyle \langle \cdot ,\;\cdot \rangle }$ jest iloczynem skalarnym. Własność tę nazywamy formułą trójczłonową.

Przykład

Formuła trójczłonowa dla wielomianów Czebyszewa pierwszego rodzaju:

${\displaystyle xT_{k}(x)={\tfrac {1}{2}}T_{k-1}(x)+{\tfrac {1}{2}}T_{k+1}(x).}$