Funkcja Γ

Wykres funkcji gamma

Funkcja gamma (zwana też gammą Eulera) – funkcja specjalna, która rozszerza pojęcie silni[1] na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych. Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to całka (całka Eulera):

jest zbieżna bezwzględnie. Całkując przez części, można pokazać, że:

Zważywszy na to, iż Γ(1)=1, z powyższego wzoru wynika, że Γ(n+1)=n! dla wszystkich liczb naturalnych n.

Drugim sposobem określenia funkcji Γ (dla dowolnych liczb zespolonych) jest:

Możemy także określić odwrotność funkcji Gamma następująco (γ to stała Eulera-Mascheroniego):

Funkcja gamma nie ma miejsc zerowych.

Jest nieciągła w każdym punkcie całkowitym niedodatnim, przyjmując w tych punktach za granice lewostronne i prawostronne przeciwne nieskończoności.

Własności funkcji Gamma

Następujące dwa wzory zachodzą, jeśli mianownik jest niezerowy:

Jeśli to:

Jeśli to:

Wzór iloczynowy Gaussa:

Dla n całkowitych, dodatnich zachodzi:

gdzie oznacza tzw. silnię wielokrotną p-tą.

Wykres funkcji zespolonej

Technika kolorowania dziedziny

Kompletny wykres
Moduł
Argument
Część rzeczywista
Część urojona
Wykres funkcji zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny

Rzut przestrzenny modułu kolorowany argumentem

x – część rzeczywista, oś y – część urojona, oś z – moduł wyniku, kolor – argument wyniku

Wybrane wartości funkcji Gamma

jest to taki argument funkcji Γ, gdzie przyjmuje ona minimum lokalne dla x > 0,

Funkcja Γ(z) nie jest określona dla z = 0, -1, -2, ... (ma tam bieguny o residuum ).

Logarytmiczna pochodna funkcji gamma

Wykres logarytmicznej pochodnej funkcji gamma

Można zdefiniować funkcję którą nazywamy logarytmiczną pochodną funkcji gamma albo funkcją digamma:

gdzie Zachodzą relacje (stała Eulera-Mascheroniego):

Ponadto dla dużych x można używać przybliżenia:

Funkcja poligamma

Definiuje się także funkcję:

którą nazywamy funkcją poligamma n-tego rzędu. Wtedy funkcję digamma można zdefiniować w następujący sposób:

Funkcję nazywa się czasem funkcją trigamma lub trójgamma.

Funkcja i kilka pierwszych funkcji poligamma na płaszczyźnie zespolonej
(digamma)
(trigamma)
Wykresy funkcji zespolonej uzyskane techniką kolorowania dziedziny

Wykorzystanie

  • Na funkcji gamma opiera się symbol Pochhammera[2].
  • Wzór na objętość n-wymiarowej hipersfery: [3].

Zobacz też

Przypisy

  1. Funkcje Eulera, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-21].
  2. Eric W. Weisstein, Pochhammer Symbol, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2018-01-21] (ang.).
  3. Eric W. Weisstein, Hypersphere, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2018-01-21] (ang.).

Linki zewnętrzne

Media użyte na tej stronie

Complex Polygamma 1.jpg
function PolyGamma[1,z] in the complex plane
Complex LogGamma.jpg
function LogGamma[z] in the complex plane
Complex Polygamma 4.jpg
function PolyGamma[4,z] in the complex plane
Gamma(z) modulus.jpg
Autor: Paweł Ziemian, Licencja: CC BY-SA 3.0
Re = -5.0 .. 5.0 Im = -5.0 .. 5.0
PolyGamma plot.gif
Autor: Unown, Licencja: CC BY-SA 3.0
Plot of the logarithmic derivative of the gamma function.
Gamma(z) argument.jpg
Autor: Paweł Ziemian, Licencja: CC BY-SA 3.0
Re = -5.0 .. 5.0 Im = -5.0 .. 5.0
Gamma abs arg.png
Autor: Geek3, Licencja: CC BY-SA 3.0
3-dimensional plot of the complex gamma function
Gamma(z) imaginaris.jpg
Autor: Paweł Ziemian, Licencja: CC BY-SA 3.0
Re = -5.0 .. 5.0 Im = -5.0 .. 5.0
Gamma(z).jpg
Autor: Paweł Ziemian, Licencja: CC BY-SA 3.0
Re = -5.0 .. 5.0 Im = -5.0 .. 5.0
Gamma plot.svg
Autor: Alessio Damato, Licencja: CC-BY-SA-3.0

Plot of the Gamma function . The plot was produced running Gnuplot on the following code:

set terminal svg
set output "Gamma_plot.svg"
set title "Gamma function"
set xrange [-10:10]
set yrange [-10:10]
set key off
set xzeroaxis linetype -1 linewidth 0.5
set yzeroaxis linetype -1 linewidth 0.5
set xtics axis
set ytics axis
plot "gamma.dat" using 1:2 with lines linewidth 2

the file "gamma.dat" contains the values of the Gamma function and can be produced with the following Matlab commands (it is meant to work in Octave, too, but it returns an error in version 2.1.64):

t = -5:0.01:5;
G = [ t; gamma(t) ];
G = G';
save -ascii "gamma.dat" G;
it was then post-processed with Sodipodi.
Complex Polygamma 3.jpg
function PolyGamma[3,z] in the complex plane
Complex Polygamma 2.jpg
function PolyGamma[2,z] in the complex plane
Gamma(z) realis.jpg
Autor: Paweł Ziemian, Licencja: CC BY-SA 3.0
Re = -5.0 .. 5.0 Im = -5.0 .. 5.0
Complex Polygamma 0.jpg
function PolyGamma[z] in the complex plane