Funkcja Γ
Ten artykuł od 2017-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. |
Funkcja gamma (zwana też gammą Eulera) – funkcja specjalna, która rozszerza pojęcie silni[1] na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych. Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to całka (całka Eulera):
jest zbieżna bezwzględnie. Całkując przez części, można pokazać, że:
Zważywszy na to, iż Γ(1)=1, z powyższego wzoru wynika, że Γ(n+1)=n! dla wszystkich liczb naturalnych n.
Drugim sposobem określenia funkcji Γ (dla dowolnych liczb zespolonych) jest:
Możemy także określić odwrotność funkcji Gamma następująco (γ to stała Eulera-Mascheroniego):
Funkcja gamma nie ma miejsc zerowych.
Jest nieciągła w każdym punkcie całkowitym niedodatnim, przyjmując w tych punktach za granice lewostronne i prawostronne przeciwne nieskończoności.
Własności funkcji Gamma
Następujące dwa wzory zachodzą, jeśli mianownik jest niezerowy:
Jeśli to:
Jeśli to:
Wzór iloczynowy Gaussa:
Dla n całkowitych, dodatnich zachodzi:
gdzie oznacza tzw. silnię wielokrotną p-tą.
Wykres funkcji zespolonej
Technika kolorowania dziedziny
Rzut przestrzenny modułu kolorowany argumentem
Wybrane wartości funkcji Gamma
jest to taki argument funkcji Γ, gdzie przyjmuje ona minimum lokalne dla x > 0,
Funkcja Γ(z) nie jest określona dla z = 0, -1, -2, ... (ma tam bieguny o residuum ).
Logarytmiczna pochodna funkcji gamma
Można zdefiniować funkcję którą nazywamy logarytmiczną pochodną funkcji gamma albo funkcją digamma:
gdzie Zachodzą relacje ( – stała Eulera-Mascheroniego):
Ponadto dla dużych x można używać przybliżenia:
Funkcja poligamma
Definiuje się także funkcję:
którą nazywamy funkcją poligamma n-tego rzędu. Wtedy funkcję digamma można zdefiniować w następujący sposób:
Funkcję nazywa się czasem funkcją trigamma lub trójgamma.
Wykorzystanie
- Na funkcji gamma opiera się symbol Pochhammera[2].
- Wzór na objętość n-wymiarowej hipersfery: [3].
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Funkcje Eulera, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-21] .
- ↑ Eric W. Weisstein , Pochhammer Symbol, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2018-01-21] (ang.).
- ↑ Eric W. Weisstein , Hypersphere, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2018-01-21] (ang.).
Linki zewnętrzne
- Eric W. Weisstein , Gamma Function, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
- Wykres modułu z funkcji Gamma w zespolonych. mathworks.com. [zarchiwizowane z tego adresu (2009-12-20)].
Media użyte na tej stronie
function PolyGamma[1,z] in the complex plane
function LogGamma[z] in the complex plane
function PolyGamma[4,z] in the complex plane
Autor: Unown, Licencja: CC BY-SA 3.0
Plot of the logarithmic derivative of the gamma function.
Autor: Paweł Ziemian, Licencja: CC BY-SA 3.0
Re = -5.0 .. 5.0 Im = -5.0 .. 5.0
Autor: Geek3, Licencja: CC BY-SA 3.0
3-dimensional plot of the complex gamma function
Autor: Paweł Ziemian, Licencja: CC BY-SA 3.0
Re = -5.0 .. 5.0 Im = -5.0 .. 5.0
Autor: Alessio Damato, Licencja: CC-BY-SA-3.0
Plot of the Gamma function . The plot was produced running Gnuplot on the following code:
set terminal svg set output "Gamma_plot.svg" set title "Gamma function" set xrange [-10:10] set yrange [-10:10] set key off set xzeroaxis linetype -1 linewidth 0.5 set yzeroaxis linetype -1 linewidth 0.5 set xtics axis set ytics axis plot "gamma.dat" using 1:2 with lines linewidth 2
the file "gamma.dat" contains the values of the Gamma function and can be produced with the following Matlab commands (it is meant to work in Octave, too, but it returns an error in version 2.1.64):
t = -5:0.01:5; G = [ t; gamma(t) ]; G = G'; save -ascii "gamma.dat" G;it was then post-processed with Sodipodi.
function PolyGamma[3,z] in the complex plane
function PolyGamma[2,z] in the complex plane
function PolyGamma[z] in the complex plane