Funkcja η

Funkcja eta Dirichletafunkcja określona dla argumentów zespolonych, zdefiniowana jako:

gdzie funkcja dzeta Riemanna.

Lub w postaci równoważnej z wykorzystaniem szeregów nieskończonych:

Można też przedstawić tę funkcję jako obliczenie całki w myśl wzoru:

gdzie funkcja gamma Eulera.

Własności funkcji η

Należy zauważyć, że funkcję η warto rozłożyć na dwie funkcje – jej część rzeczywistą i część urojoną Mają one własności:

gdzie oznacza sprzężenie zespolone liczby Z ostatniego równania wynika, że funkcja η przyjmuje wartości rzeczywiste dla rzeczywistych z.

Ponadto możemy zapisać granicę:

Wynika z tego bezpośrednio, że i co można zaobserwować od razu na wykresie poniżej.

Wykresy funkcji η

Media użyte na tej stronie

Complex Dirichlet eta function.jpg
function Dirichlet eta function in the complex plane
Eta plot.gif
Autor: Unown, Licencja: CC BY-SA 3.0
Plot of Dirichlet eta function (real axis).