Funkcja Möbiusa

Ten artykuł od 2013-03 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł. Należy dodać przypisy do treści niemających odnośników do wiarygodnych źródeł. (Dodanie listy źródeł bibliograficznych lub linków zewnętrznych nie jest wystarczające). Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Funkcja Möbiusa – funkcja określona przez Augusta Ferdynanda Möbiusa^[1] w 1831 roku^[2] i zdefiniowana w następujący sposób:

• ${\displaystyle \mu (1)=1,}$
• ${\displaystyle \mu (n)=0,}$ jeśli liczba ${\displaystyle n}$ jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej,
• ${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{k},}$ jeśli liczba ${\displaystyle n}$ jest iloczynem ${\displaystyle k}$ różnych liczb pierwszych.

Wartości funkcji Möbiusa dla małych ${\displaystyle n{:}}$

Gdy ${\displaystyle n}$ jest liczbą pierwszą, wartość funkcji wynosi −1.

Dla ${\displaystyle n>1}$ zachodzi równość:

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)=0,}$

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie naturalne dzielniki liczby ${\displaystyle n}$ włącznie z 1 i ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{ gdy }}n=1\\0&{\text{ gdy }}n>1\end{cases}}}$^[3].

Oto sekwencje liczb odpowiadające konkretnym wartościom funkcji Möbiusa:

Wykres funkcji Möbiusa dla ${\displaystyle n\leqslant 50{:}}$

Funkcja Möbiusa jest funkcją multiplikatywną co oznacza, iż

• ${\displaystyle \mu (a)\cdot \mu (b)=\mu (ab),}$

jeśli ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są liczbami względnie pierwszymi. Istnieje także pojęcie funkcji całkowicie multiplikatywnej, gdzie nie jest wymagany warunek względnej pierwszości, funkcji Möbiusa nie można jednak zaklasyfikować w ten sposób.

Związek z funkcjami trygonometrycznymi

Spójrzmy na ciąg ułamków

${\displaystyle {\frac {1}{42}},\qquad {\frac {2}{42}},\qquad {\frac {3}{42}},\qquad \dots ,\qquad {\frac {39}{42}},\qquad {\frac {40}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.}$

Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:

${\displaystyle {\frac {1}{42}},\qquad {\frac {5}{42}},\qquad {\frac {11}{42}},\qquad \dots ,\qquad {\frac {31}{42}},\qquad {\frac {37}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.}$

Utwórzmy sumę:

${\displaystyle \cos \left(2\pi \cdot {\frac {1}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {5}{42}}\right)+\cdots +\cos \left(2\pi \cdot {\frac {37}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {41}{42}}\right).}$

Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową: 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie

${\displaystyle \sum _{1\leqslant x<n,\operatorname {NWD} (x,n)=1}\cos \left(2\pi \cdot {\frac {x}{n}}\right)=\mu (n).}$

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Möbius Function, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).