Funkcja Mertensa

Wykres funkcji Mertensa dla argumentów od 1 do 10 000

Funkcja Mertensa – w teorii liczb funkcja zdefiniowana jako:

${\displaystyle M(n)=\sum _{1\leqslant k\leqslant n}\mu (k),}$

gdzie ${\displaystyle \mu (k)}$ jest funkcją Möbiusa^[1][2][3].

Dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle k}$ zachodzi ${\displaystyle \mu (k)\leqslant 1,}$ zatem ${\displaystyle M(n)\leqslant n}$^[2].

Przypuszczenie Mertensa

Franciszek Mertens wysunął przypuszczenie, że dla każdego ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left|M(n)\right|<{\sqrt {n}}}$^[2][3][4].

Fakt ten implikowałaby hipotezę Riemanna^[4]. Jest to powiązane z faktem, iż jeśli podzielimy funkcję Mertensa z danej liczby przez pierwiastek kwadratowy, uzyskamy ciąg zbliżony do sekwencji nietrywialnych zer funkcji dzeta Riemanna^[2][3]. Okazuje się jednak, że przypuszczenie to jest fałszywe; do dziś nie jest znany kontrprzykład, ale wiadomo, że znajduje się między ${\displaystyle 10^{16}}$^[3] a ${\displaystyle e^{3.21\times 10^{64}}}$^[5]. Równoważne z hipotezą Riemanna jest zachodzenie dla każdego ${\displaystyle \epsilon >0}$ poniższego wzoru:

${\displaystyle M(n)=O\left(n^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)}$^[2].

Gdyby funkcja Möbiusa została zastąpiona losowym ciągiem ${\displaystyle +1}$ i ${\displaystyle -1,}$ to powyższa własność wynikałaby z prawa iterowanego logarytmu.

Ponadto, jeśli powyższy wzór jest prawdziwy, wynik funkcji pi można by przybliżyć wzorem

${\displaystyle \int \limits _{0}^{x}{\frac {du}{\ln(u)}}+O(x^{\theta }\ln(x)),}$ gdzie theta oznacza półpłaszczyznę ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)>\theta ,}$

gdzie ${\displaystyle s}$ to argument funkcji dzeta Riemanna^[2].

Wzory

• Związek pomiędzy funkcją dzeta Riemanna a funkcją Mertensa wynika ze wzoru

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}.}$

• ${\displaystyle M(n)=\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},}$ gdzie ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ oznacza ${\displaystyle n}$-ty ciąg Fareya.
• M(n) to wyznacznik ${\displaystyle n}$-tej macierzy Redheffera, w której ${\displaystyle a_{ij}=1,}$ gdy ${\displaystyle j=1}$ lub ${\displaystyle i}$ dzieli ${\displaystyle j,}$ a pozostałe wyrazy są zerowe.

Obliczanie wartości funkcji^[3]

Przypisy

Bibliografia

• Pintz J., An Effective Disproof of the Mertens Conjecture, „Astérique” 1987, s. 147–148, 325–333, 346. (fr)