Funkcja Weierstrassa

Wykres funkcji Weierstrassa w przedziale ${\displaystyle [-2,2]}$

Funkcja Weierstrassa z parametrami ${\displaystyle a=0,5;}$ ${\displaystyle b=3}$ w przedziale ${\displaystyle [-0{,}2,1{,}2].}$

Funkcja Weierstrassa – pierwszy opublikowany^[1] przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstraßa.

Tło historyczne

Wielu matematyków przełomu XVIII i XIX wieku uważało, iż wszystkie funkcje ciągłe są różniczkowalne w znaczącym podzbiorze swojej dziedziny. Francuski fizyk, André Marie Ampère, starał się nawet uzasadnić ten pogląd^[2]. Sam Weierstraß przyznał, że słyszał od uczniów Riemanna, że ich nauczyciel sugerował istnienie kontrprzykładu na to przekonanie.

Prawdopodobnie (w roku 1830) Bernard Bolzano podał przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie dziedziny, lecz swojego wyniku nie opublikował^[3]. W 1860 roku szwajcarski matematyk Charles Cellérier podał przykład zbliżony do pomysłu Weierstraßa.

Konstrukcja funkcji Weierstrassa

W oryginalnej publikacji^[4], funkcja Weierstraßa zdefiniowana jest jako

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),}$

gdzie ${\displaystyle a}$ jest pewną liczbą z przedziału (0,1) natomiast ${\displaystyle b}$ jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek

${\displaystyle ab>1+{\tfrac {3}{2}}\pi .}$

Wykres funkcji Weierstrassa

Gdy ${\displaystyle ab>1,}$ to wykres funkcji Weierstrassa jest fraktalem oraz jego wymiar Minkowskiego wynosi

${\displaystyle 2+{\frac {\log a}{\log b}}.}$

Istnieje nierozwiązana hipoteza mówiąca, że (pod założeniem ${\displaystyle ab>1}$) wymiar Hausdorffa wykresu funkcji Weierstrassa jest równy jego wymiarowi Minkowskiego.

Dziedzina zespolona

Znalezienie w dziedzinie zespolonej funkcji ciągłej, ale nie różniczkowalnej w żadnym punkcie jest dużo łatwiejsze. Przykładem takiej funkcji jest funkcja „sprzężenie”, tj.

${\displaystyle z\mapsto {\overline {z}}\,\;\;(z\in \mathbb {C} ).}$

Zobacz też

• funkcja Riemanna

Przypisy

Bibliografia

• O wymiarze wykresu funkcji nigdzie nieróżniczkowalnej. „Wiadomości Matematyczne”. Tom 42 (2006), 2006. T. Szarek. Poznań: Polskie Towarzystwo Matematyczne. 
• G.H. Hardy. Weierstrass’s non-differentiable function. „Transactions of the American Mathematical Society”. 17, s. 301–325, 1916. American Mathematical Society. DOI: 10.1090/S0002-9947-1916-1501044-1. 

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Weierstrass Function, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).