Funkcja algebraiczna

Funkcja algebraiczna – funkcja ${\displaystyle f(x),}$ dla której istnieją takie wielomiany ${\displaystyle W_{n}(x),W_{n-1}(x),\dots ,W_{1}(x),W_{0}(x)}$ nie wszystkie równe tożsamościowo zeru, że dla każdego ${\displaystyle x}$ z dziedziny funkcji spełnione jest równanie

${\displaystyle W_{n}(x)f^{n}(x)+W_{n-1}(x)f^{n-1}(x)+\dots +W_{1}(x)f(x)+W_{0}(x)=0.}$

Funkcję, która nie jest algebraiczna, nazywamy funkcją przestępną.

Wszystkie funkcje wymierne (w tym wszystkie wielomiany) są funkcjami algebraicznymi. Funkcję algebraiczną, która nie jest funkcją wymierną, nazywamy funkcją niewymierną. Przykładem funkcji niewymiernej jest ${\displaystyle f(x)={\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle (n>1).}$

Przykłady i zastosowania

• Funkcja ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$ jest algebraiczna, bo dla każdego ${\displaystyle x}$ z jej dziedziny ${\displaystyle (x\geqslant 0)}$ spełnione jest równanie ${\displaystyle ({\sqrt {x}})^{2}-x=0.}$ Odpowiednimi wielomianami są tu ${\displaystyle W_{2}=1,}$ ${\displaystyle W_{1}=0}$ oraz ${\displaystyle W_{0}=-x.}$
• Funkcja ${\displaystyle y=e^{x}}$ jest przestępna.
• Funkcje trygonometryczne są przestępne.
• Pochodne funkcji cyklometrycznych są funkcjami algebraicznymi, dlatego mogą służyć np. do przybliżania i szukania ekstremów tych pierwszych.
• Pierwiastki z funkcji kwadratowych służą do opisu krzywych stożkowych: elipsy (w tym koła), paraboli i hiperboli, uzupełniając w ten sposób funkcje kwadratowe i homograficzne.
• W szczególnej teorii względności Einsteina (oraz starszej teorii eteru Lorentza) czynnik Lorentza jest algebraiczną funkcją prędkości.
• Logarytmiczny dekrement tłumienia jest algebraiczną funkcją współczynnika tłumienia oraz częstości drgań własnych.

Zobacz też

• liczba algebraiczna