Funkcja całkowalna

Ten artykuł od 2013-12 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Funkcja całkowalna – funkcja, dla której istnieje całka w sensie danej teorii całki^[1]. Jeżeli nie jest to sprecyzowane, to najczęściej ma się na myśli funkcje całkowalne w sensie Lebesgue’a; pozostałe zwykle są odpowiednio kwalifikowane, np. funkcja całkowalna w sensie Riemanna (tzn. istnieje całka Riemanna tej funkcji), czy w sensie Henstocka-Kurzweila itp.

Całkowalność w sensie Newtona

Choć funkcja może mieć funkcję pierwotną (całkę nieoznaczoną), to może nie być ona całkowalna. Przykładowo funkcja

${\displaystyle F(x)=\sin x}$

jest pierwotną funkcji

${\displaystyle f(x)=\cos x}$

ale całka z funkcji ${\displaystyle f(x)}$ nie jest zbieżna na żadnym przedziale nieskończonym. Może tak być nawet wtedy, gdy funkcja pierwotna ma granicę w każdym kierunku, jak np.

${\displaystyle F(x)={\frac {\sin x}{x}}}$ dla ${\displaystyle x\geqslant 1,}$

której pochodna

${\displaystyle f(x)={\frac {\cos x}{x}}-{\frac {\sin x}{x^{2}}}}$

nie jest całkowalna na przedziale ${\displaystyle [1,\infty ).}$ Jest prawdą nawet, gdy przedział całkowania nie jest nieskończony; przykładem może być pierwotna

${\displaystyle F(x)=x\sin {\tfrac {1}{x}}}$ dla ${\displaystyle 0<x\leqslant 1,}$

której pochodna

${\displaystyle f(x)=\sin {\tfrac {1}{x}}-{\frac {\cos {\tfrac {1}{x}}}{x}}}$

nie jest całkowalna w przedziale ${\displaystyle [0,1].}$ Jest tak, ponieważ po przypisaniu jakiejkolwiek wartości ${\displaystyle f}$ w zerze, będzie ona tam nieciągła. Z tego powodu ${\displaystyle F'(0)}$ nie jest określone, dlatego niemożliwe jest zastosowanie podstawowego twierdzenia rachunku całkowego na przedziale ${\displaystyle [0,1].}$

Całkowalność w sensie Lebesgue’a

Dla danego zbioru ${\displaystyle X}$ z określoną na nim σ-algebrą ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ i miarą ${\displaystyle \mu }$ określoną na ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ rzeczywista funkcja ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ jest całkowalna, jeżeli tak jej część dodatnia ${\displaystyle f^{+}=\max(f,0),}$ jak i ujemna ${\displaystyle f^{-}=\max(-f,0)}$ są funkcjami mierzalnymi o skończonej całce Lebesgue’a. Jest to równoważne temu, by skończona była całka z funkcji ${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}.}$ Wówczas całkę Lebesgue’a funkcji ${\displaystyle f}$ definiuje się wówczas wzorem

${\displaystyle \int f:=\int f^{+}-\int f^{-}.}$

Czasami funkcję całkowalną w powyższym sensie nazywa się sumowalną, zaś termin „funkcja całkowalna” zarezerwowany jest dla funkcji ${\displaystyle f,}$ dla której skończona jest choć jedna z całek po prawej stronie powyższego wzoru.

Dla liczby rzeczywistej ${\displaystyle p\geqslant 0}$ funkcję ${\displaystyle f}$ nazywa się ${\displaystyle p}$-sumowalną, jeżeli sumowalna jest funkcja ${\displaystyle |f|^{p}.}$ Wielu autorów stosuje jednak to nazewnictwo tylko wtedy, gdy ${\displaystyle f}$ jest ciągiem, a ${\displaystyle \mu }$ jest dyskretna; w przypadku ogólnym nazywając ${\displaystyle f}$ funkcją ${\displaystyle p}$-całkowalną. Dla ${\displaystyle p=1}$ mówi się czasem, że ${\displaystyle f}$ jest bezwzględnie sumowalna / całkowalna.

Przestrzenie L^p funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a w p-tej potędze są jednym z głównych obiektów badań analizy funkcjonalnej.

Całkowalność z kwadratem

Definicja:

Funkcję zmiennej rzeczywistej bądź zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych nazywamy całkowalną z kwadratem na przedziale, jeżeli całka kwadratu jej wartości bezwzględnej/modułu jest skończona.

Twierdzenie:

Zbiór wszystkich funkcji mierzalnych całkowalnych z kwadratem, w sensie Lebesgue’a, stanowi przestrzeń liniową, która jest przestrzenią Hilberta – jest to tzw. przestrzeń L², w której funkcje równe prawie wszędzie są ze sobą utożsamiane (formalnie L² jest przestrzenią ilorazową przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem przez podprzestrzeń funkcji, które znikają prawie wszędzie).

Funkcje tego rodzaju są szczególnie użyteczne w mechanice kwantowej, ponieważ funkcje falowe muszą być całkowalne z kwadratem na całej przestrzeni, aby teoria dawała sensowne fizycznie rozwiązania.

Zobacz też

• Funkcja lokalnie całkowalna

Przypisy