Funkcja charakterystyczna zbioru

Funkcja charakterystyczna zbioru, indykator zbioru – funkcja mająca zastosowanie w teorii miary i teorii ciągów funkcji mierzalnych. Przykładem funkcji charakterystycznej jest funkcja Dirichleta (funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych).

Definicja

Niech ${\displaystyle A}$ będzie dowolnym zbiorem, zaś ${\displaystyle B}$ jego podzbiorem, ${\displaystyle B\subseteq A.}$

Funkcją charakterystyczną zbioru ${\displaystyle B}$ nazywamy funkcję rzeczywistą ${\displaystyle f\colon A\longrightarrow \{0,1\}}$ określoną następującym wzorem:

${\displaystyle f(x):={\begin{cases}1,&{\mbox{gdy }}x\in B,\\0,&{\mbox{gdy }}x\notin B.\end{cases}}}$

Oznaczeniem funkcji charakterystycznej zbioru ${\displaystyle B\subseteq A}$ jest ${\displaystyle \mathbf {1} _{B,A},\ \chi _{B,A},\ \mathbf {1} _{B},}$ bądź ${\displaystyle \chi _{B}.}$

Przykłady

• Funkcja Dirichleta ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }}$ zbioru liczb wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ jest funkcją nieciągłą w każdym punkcie dziedziny.
• Jeśli ${\displaystyle f\colon A\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ jest nieujemną funkcją mierzalną, to ciąg

${\displaystyle \left({\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=1}^{n2^{n}}\chi _{\{x\in A\colon f(x)>k/2^{n}\},A}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

jest punktowo zbieżny do ${\displaystyle f.}$

Zobacz też

• funkcja charakterystyczna w rachunku prawdopodobieństwa