Funkcja dzeta Riemanna

Funkcja ζ (dzeta) Riemanna – funkcja specjalna zdefiniowana jako przedłużenie analityczne poniższej sumy:

${\displaystyle {\zeta }(z):=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}\right)^{z}.}$

Szereg ten jest zbieżny dla takich ${\displaystyle z,}$ których część rzeczywista jest większa od 1 (Re z > 1)^[1].

Za pomocą metod analizy matematycznej sumę tę daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone, poza ${\displaystyle z=1.}$ Przyjmuje ona wtedy postać:

${\displaystyle {\zeta }(z)={\frac {1}{1-2^{1-z}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{-z}.}$^[2]

Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla ${\displaystyle z}$ o części rzeczywistej mniejszej od 1, można posłużyć się również wzorem rekurencyjnym:

${\displaystyle {\zeta }(z)=2^{z}\pi ^{z-1}\sin \left({\frac {\pi z}{2}}\right)\Gamma (1-z){\zeta }(1-z),}$^[3][4]

gdzie ${\displaystyle \Gamma }$ to funkcja Γ (gamma) Eulera.

Z funkcją dzeta związany jest jeden z najważniejszych problemów współczesnej matematyki – hipoteza Riemanna.

Wykres funkcji ζ

Dziedzina liczb rzeczywistych

Dziedzina liczb zespolonych

Wykres funkcji ζ(z) na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny.

Ważne wzory związane z funkcją ζ

Związek funkcji dzeta z liczbami pierwszymi (dla ${\displaystyle Re(z)>1}$):

${\displaystyle {\zeta }(z)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-z}}},}$^[5][6]

gdzie ${\displaystyle p}$ oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.

Związek z liczbami Bernoulliego:

${\displaystyle {\zeta }(2n)=\left(-1\right)^{n+1}{\frac {B_{2n}\left(2\pi \right)^{2n}}{2\left(2n\right)!}},}$

dla każdej liczby parzystej dodatniej ${\displaystyle 2n,}$ gdzie ${\displaystyle B_{k}}$ to ${\displaystyle k}$-ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych ${\displaystyle -n{:}}$

${\displaystyle {\zeta }(-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}.}$

Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.

Związki z funkcjami teorioliczbowymi:

${\displaystyle \ln \zeta (z)=z\int _{2}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{z}-1)}}dx,}$^[7]

gdzie ${\displaystyle \pi (x)}$ to funkcja π (pi) określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \zeta ^{2}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{z}}},}$^[8]

gdzie ${\displaystyle \tau (n)}$ to funkcja τ (tau), określająca liczbę dzielników liczby ${\displaystyle n.}$

Niektóre wartości

Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1

${\displaystyle \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}\approx -0{,}0833333}$

${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}6449341}$^[9]

${\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1{,}0823232}$^[9]

${\displaystyle \zeta (6)=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}\approx 1{,}0173431}$^[9]

${\displaystyle \zeta (8)=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}\approx 1{,}0040774}$

${\displaystyle \zeta (10)=1+{\frac {1}{2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}\approx 1{,}0009946}$

Ogólnie, dla ${\displaystyle p\in \mathbb {N} ,}$ mamy:

${\displaystyle \zeta (2p)={\frac {(-1)^{p+1}\cdot B_{2p}\cdot (2\pi )^{2p}}{2\cdot (2p)!}},}$^[10]

gdzie ${\displaystyle B_{2p}}$ to liczba Bernoulliego z indeksem ${\displaystyle 2p.}$

Zobacz też

• funkcja eta Dirichleta
• regularyzacja funkcją dzeta
• problem bazylejski

Przypisy

Bibliografia

• E.C.E.C. Titchmarsh E.C.E.C., The theory of the Riemann zeta-function, wyd. second edition, Oxford: Clarendon Press, 1986  (ang.).
• LechL. Maligranda LechL., Szeregi w pracach Eulera, „Antiquitates Mathematicae”, 2, 2008, s. 47-67, DOI: 10.14708/am.v2i1.609, ISSN 1898-5203, URN: urn:nbn:se:ltu:diva-13072 .

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Riemann Zeta Function, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Grant Sanderson, Visualizing the Riemann zeta function and analytic continuation, kanał 3blue1brown na YouTube, 9 grudnia 2016 [dostęp 2021-03-15].