Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna, homografia^[1] – funkcja wymierna postaci:

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$

gdzie współczynniki ${\displaystyle a,b,c,d}$ spełniają warunek ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$^[2][3] gwarantujący, że funkcja ${\displaystyle f}$ nie redukuje się do funkcji stałej.

Na ogół homografie określa się w dziedzinie zespolonej^[1]: ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} ;}$ można jednak je określić dla dowolnego ciała ${\displaystyle K,}$ jako funkcje ${\displaystyle f\colon K\to K,}$ gdzie ${\displaystyle a,b,c,d\in K.}$ W szczególności funkcja homograficzna może być określona dla podciał ciała liczb zespolonych, np. dla liczb rzeczywistych lub wymiernych.

Niektóre źródła nie zaliczają do homografii funkcji liniowych poprzez dodanie warunku ${\displaystyle c\neq 0}$^[4][5]. Większość źródeł zalicza jednak funkcje liniowe do tego zbioru, co pozwala na bardziej spójny opis; przykładowo tak rozumiane homografie tworzą grupę przekształceń^[1].

Podstawowe własności

Dziedzina i zbiór wartości

Przypadek ${\displaystyle c\neq 0.}$

Funkcja homograficzna ${\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$

• jest określona dla ${\displaystyle x\neq -{\frac {d}{c}},}$ czyli poza miejscem zerowym mianownika, czyli dziedziną jest ${\displaystyle K\setminus \{-{\tfrac {d}{c}}\},}$
• nie przyjmuje wartości ${\displaystyle {\frac {a}{c}},}$ czyli zbiorem wartości jest ${\displaystyle K\setminus \{{\tfrac {a}{c}}\},}$ bo w przeciwnym razie spełniona byłaby równość

${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}-{\frac {a}{c}}={\frac {bc-ad}{c(cx+d)}}=0,}$

która jest sprzeczna z tym, że ${\displaystyle bc-ad\neq 0.}$

Przypadek ${\displaystyle c=0.}$

Funkcja homograficzna ${\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$

• jest określona dla dowolnego ${\displaystyle x\in K,}$
• przyjmuje dowolne wartości ciała ${\displaystyle K.}$

Różnowartościowość homografii

Homografia jest funkcją różnowartościową niezależnie od ciała, w którym jest określona.

Istotnie, jeśli ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2}),}$ czyli

${\displaystyle {\frac {ax_{1}+b}{cx_{1}+d}}={\frac {ax_{2}+b}{cx_{2}+d}},}$

to

${\displaystyle (ax_{1}+b)(cx_{2}+d)=(ax_{2}+b)(cx_{1}+d).}$

Po rozpisaniu obu stron, redukcji i zwinięciu wyrażenia dostajemy

${\displaystyle (ad-bc)(x_{1}-x_{2})=0,}$

a ponieważ ${\displaystyle ad-bc\neq 0,}$ więc

${\displaystyle x_{1}=x_{2}.}$

Przedłużenie homografii

Jeśli powiększymy ciało ${\displaystyle K}$ o pewien element ${\displaystyle \infty ,}$ nazywany punktem w nieskończoności, to na zbiorze ${\displaystyle {\hat {K}}=K\cup \{\infty \}}$ można przedłużyć funkcję homograficzną ${\displaystyle f}$ następująco:

• dla ${\displaystyle c=0\quad f(\infty )=\infty ,}$
• dla ${\displaystyle c\neq 0\quad f(\infty )={\frac {a}{c}},\quad f\left(-{\frac {d}{c}}\right)=\infty .}$

Ponieważ jednocześnie

• dla ${\displaystyle c=0\quad x\neq \infty \Rightarrow f(x)\neq \infty ,}$
• dla ${\displaystyle c\neq 0\quad x\neq \infty \Rightarrow f(x)\neq {\frac {a}{c}},\quad x\neq -{\frac {d}{c}}\Rightarrow f(x)\neq \infty ,}$

to homografia ${\displaystyle f\colon {\hat {K}}\to {\hat {K}}}$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.

Ciągłość homografii

Jeśli ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ lub ${\displaystyle K=\mathbb {C} ,}$ to homografia jako funkcja wymierna jest funkcją ciągłą w swojej dziedzinie.

Po uzwarceniu ciała liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ lub ciała liczb zespolonych ${\displaystyle \mathbb {C} }$ punktem ${\displaystyle \infty }$ i przedłużeniu homografii na zbiory odpowiednio ${\displaystyle {\hat {\mathbb {R} }}}$ i ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }},}$ zachodzą następujące zależności:

• dla ${\displaystyle c=0\quad f(\infty )=\lim _{x\to \infty }f(x)}$
• dla ${\displaystyle c\neq 0\quad f(\infty )=\lim _{x\to \infty }f(x),\;f(-{\tfrac {d}{c}})=\lim _{x\to -{\tfrac {d}{c}}}f(x)}$

co oznacza, że homografia przedłużona jest także ciągła.

Oczywiście ${\displaystyle {\hat {\mathbb {R} }}}$ jest homeomorficzny z okręgiem, ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}$ ze sferą.

Grupowe własności funkcji homograficznych

Zbiór wszystkich funkcji homograficznych określonych w danym ciele (włączając przypadek ${\displaystyle c=0}$) tworzy grupę ze względu na składanie^[1].

Rzeczywiście, jeśli

${\displaystyle g(x)={\frac {a_{1}x+b_{1}}{c_{1}x+d_{1}}},\quad f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}},}$

gdzie ${\displaystyle a_{1}d_{1}-b_{1}c_{1}\neq 0,\quad ad-bc\neq 0,}$

to

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))={\frac {(a_{1}a+b_{1}c)x+a_{1}b+b_{1}d}{(c_{1}a+d_{1}c)x+c_{1}b+d_{1}d}},}$

gdzie ${\displaystyle (a_{1}a+b_{1}c)(c_{1}b+d_{1}d)-(a_{1}b+b_{1}d)(c_{1}a+d_{1}c)=(a_{1}d_{1}-b_{1}c_{1})(ad-bc)\neq 0.}$

Czyli ${\displaystyle g\circ f}$ też jest homografią.

Homografia ${\displaystyle f(x)=x}$ jest jednością (elementem neutralnym) tej grupy.

Dla homografii ${\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$ elementem odwrotnym jest homografia ${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {dx-b}{-cx+a}}.}$

Oznaczmy przez ${\displaystyle M_{f}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ macierz złożoną ze współczynników homografii ${\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}.}$

Zauważmy, że warunek dla współczynników ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ oznacza, iż ${\displaystyle M_{f}}$ jest macierzą nieosobliwą.

Zauważmy też, że współczynniki złożenia ${\displaystyle g\circ f}$ są elementami iloczynu macierzy ${\displaystyle M_{g}\cdot M_{f}.}$

Można to symbolicznie zapisać

${\displaystyle M_{g\circ f}=M_{g}\cdot M_{f}.}$

Oznacza to, że grupę homografii nad pewnym ciałem można zanurzyć w grupie nieosobliwych macierzy ${\displaystyle 2\times 2}$ nad tym samym ciałem.

Możliwość skracania/rozszerzania ułamka definiującego homografię utrudnia ustalenie izomorfizmu – jednej homografii odpowiada cała klasa macierzy „proporcjonalnych” do siebie. Dla niektórych ciał znalezienie izomorfizmu jest jednak dość proste – dla ciała R wystarczy ograniczyć się do grupy macierzy o wyznaczniku równym 1 lub −1, natomiast dla ciała C wystarczy grupa macierzy o wyznaczniku 1.

Rozkład homografii

Dla homografii, dla której ${\displaystyle c\neq 0}$ dostajemy

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {bc-ad}{c^{2}}}\cdot {\frac {1}{z+{\frac {d}{c}}}}+{\frac {a}{c}}.}$

Jest więc ona złożeniem kolejno poniższych funkcji:

translacji: ${\displaystyle f_{1}(z)=z+{\frac {d}{c}},}$

inwersji: ${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {1}{z}},}$

jednokładność: ${\displaystyle f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}\cdot z,}$

translacja: ${\displaystyle f_{4}(z)=z+{\frac {a}{c}}.}$

Jeśli zaś ${\displaystyle c=0,}$ to natychmiast widać, że homografia jako przekształcenie liniowe jest złożeniem dwóch funkcji:

jednokładności: ${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {a}{d}}\cdot z}$

i translacji: ${\displaystyle f_{2}(z)=z+{\frac {b}{d}}.}$

W języku macierzowym oznacza to, że każda macierz ${\displaystyle 2\times 2}$ może być przedstawiona jako iloczyn macierzy postaci

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Weźmy dwie dowolne homografie:

${\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}},\quad g(x)={\frac {a'x+b'}{c'x+d'}},}$

gdzie ${\displaystyle c,c'\neq 0.}$

Wówczas oznaczając ${\displaystyle D=ad-bc,\ D'=a'd'-b'c',}$ dostaniemy:

${\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {c'^{2}D}{c^{2}D'}}\cdot {\frac {a'(x+{\frac {d}{c}}-{\frac {d'}{c'}})+b'}{c'(x+{\frac {d}{c}}-{\frac {d'}{c'}})+d'}}-{\frac {a'c'D}{c^{2}D'}}+{\frac {a}{c}}={\frac {c'^{2}D}{c^{2}D'}}\cdot g(x+{\frac {d}{c}}-{\frac {d'}{c'}})-{\frac {a'c'D}{c^{2}D'}}+{\frac {a}{c}},}$

czyli

${\displaystyle f(x)=(h_{2}\circ g\circ h_{1})(x),}$

gdzie h₂, h₁ są liniowymi funkcjami:

${\displaystyle h_{2}(x)={\frac {c'^{2}D}{c^{2}D'}}\cdot x-{\frac {a'c'D}{c^{2}D'}}+{\frac {a}{c}},}$

${\displaystyle h_{1}(x)=x+{\frac {d}{c}}-{\frac {d'}{c'}}.}$

Jedną homografię można więc otrzymać z innej przemnażając (w sensie składania) lewostronnie i prawostronnie przez pewne funkcje liniowe. Przydaje się to przy budowaniu i analizowaniu wykresów.

Funkcja homograficzna jako przekształcenie rzutowe prostej

Dowolne niezdegenerowane przekształcenie liniowe przestrzeni 2-wymiarowej nad dowolnym ciałem ma postać:

${\displaystyle y_{1}=ax_{1}+bx_{2},}$

${\displaystyle y_{2}=cx_{1}+dx_{2},}$

gdzie ${\displaystyle ad-bd\neq 0}$ oraz ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ są współrzędnymi odpowiednich wektorów w ustalonej bazie.

Istnieje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między zbiorem podprzestrzeni 1-wymiarowych w 2-wymiarowej przestrzeni liniowej a zbiorem punktów na prostej rzutowej (tak buduje się jeden z modeli dla geometrii rzutowej). Stąd wystarczy potraktować współrzędne wektorów w jakiejkolwiek bazie jako zapis współrzędnych punktów rzutowych w układzie współrzędnych jednorodnych.

Ponieważ

${\displaystyle {\frac {y_{1}}{y_{2}}}={\frac {ax_{1}+bx_{2}}{cx_{1}+dx_{2}}}={\frac {a{\frac {x_{1}}{x_{2}}}+b}{c{\frac {x_{1}}{x_{2}}}+d}},}$

więc przechodząc od współrzędnych jednorodnych do zwykłych (tj. rzutowych) ${\displaystyle x:={\frac {x_{1}}{x_{2}}},\quad y:={\frac {y_{1}}{y_{2}}}}$ dostaniemy:

${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}.}$

Czyli dostaniemy funkcję homograficzną w pewnym układzie współrzędnych rzutowych. Oznacza to, że homografia jest analityczną postacią przekształcenia rzutowego prostej rzutowej na siebie. Zauważmy jeszcze, że jeśli w tym układzie współrzędnych przyjmiemy ${\displaystyle c=0,}$ to wyróżnimy grupę przekształceń afinicznych prostej rzutowej na siebie. Nie możemy jednak wyróżnić podobieństw i izometrii nie mając określonego iloczynu skalarnego.

Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistej

Rozważając homografie jako funkcje zmiennej rzeczywistej wymagamy, aby współczynniki ${\displaystyle a,b,c,d}$ były liczbami rzeczywistymi.

Wykres

Rysunek pokazuje wykres typowej homografii. Szare linie symbolizują asymptoty wykresu.

Wykres funkcji homograficznej jest przesunięciem równoległym pewnej hiperboli; posiada on dwie asymptoty:

pionową ${\displaystyle x={\frac {-d}{c}}}$  i   poziomą ${\displaystyle y={\frac {a}{c}}.}$

Punkt ${\displaystyle S=\left({\frac {-d}{c}};{\frac {a}{c}}\right)}$ to środek symetrii tego wykresu. Funkcja homograficzna jest monotoniczna na każdym z przedziałów ${\displaystyle \left(-\infty ,-{\frac {d}{c}}\right)}$ oraz ${\displaystyle \left(-{\frac {d}{c}},\infty \right).}$ Jest ona

• przedziałami malejąca gdy ${\displaystyle ad-bc<0}$ oraz
• przedziałami rosnąca ${\displaystyle ad-bc>0.}$

Przesunięcie wykresu hiperboli

Wykażmy, że wykres funkcji homograficznej ${\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}},}$ gdzie ${\displaystyle c\neq 0}$ oraz ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu pewnej hiperboli o pewien wektor. Zauważmy w tym celu, że dla wszystkich ${\displaystyle x}$ mamy

${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}x+cd}}={\frac {bc-ad}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}+{\frac {a}{c}}.}$

Zatem wykres funkcji ${\displaystyle f}$ powstaje w wyniku translacji hiperboli o równaniu

${\displaystyle y={\frac {bc-ad}{c^{2}x}}}$

o wektor ${\displaystyle {\vec {u}}=[-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}].}$

Homografia jako funkcja zmiennej zespolonej

Homografia określona w ciele liczb zespolonych C jest funkcją holomorficzną.

Użycie ciała C do wprowadzenia układu współrzędnych na płaszczyźnie (w uproszczeniu: ${\displaystyle C\equiv R^{2}}$) dostarcza nowych faktów geometrycznych – homografia okazuje się być wówczas odwzorowaniem konforemnym, czyli równokątnym odwzorowaniem płaszczyzny na siebie (dotyczy to zresztą wszystkich funkcji holomorficznych w punktach, w których pochodna nie zeruje się).

Homografia wyróżnia się jeszcze jedną ciekawą własnością geometryczną – jest funkcją ${\displaystyle C\cup \{\infty \}\to C\cup \{\infty \}}$ zachowującą okręgi, tzn. obrazem okręgu jest okrąg (za okręgi uznajemy także proste). W szczególności taką własność ma inwersja zespolona ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}.}$ Geometrycznie zdefiniowaną inwersję otrzymujemy składając inwersję zespoloną ze sprzężeniem, czyli stosując funkcję ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\bar {z}}}.}$

Homografia określona w ciele C nazywana jest także odwzorowaniem Möbiusa.

Przykłady i zastosowania

• Suma nieskończonego szeregu geometrycznego jest homograficzną funkcją ilorazu ciągu.
• Ułamek łańcuchowy to złożenie wielu, nawet nieskończenie wielu homografii.
• W optyce geometrycznej, zarówno katoptryce, jak i dioptryce, używane jest równanie zwierciadła lub soczewki. Odległość przedmiotu, odległość obrazu oraz ogniskowa są funkcjami homograficznymi siebie nawzajem.
• Efekt Dopplera, m.in. w optyce falowej i akustyce: przy ruchu źródła fali względem ośrodka zmiana długości fali oraz odbieranej częstotliwości jest homograficzną funkcją prędkości źródła.
• W szczególnej teorii względności Einsteina używany jest inny wzór na składanie prędkości niż w mechanice klasycznej. Prędkość w jednym układzie inercjalnym jest homograficzną funkcją prędkości w innym układzie.

Zobacz też

• Grupa modularna

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Douglas N. Arnold, Jonathan Rogness (University of Minnesota): Moebius Transformations Revealed. [dostęp 2009-05-01]. (ang.). – animacja pokazująca przekształcenie Möbiusa generowane przez funkcję homograficzną w dziedzinie zespolonej