Funkcja jednostajnie ciągła

Jednostajna ciągłość – własność funkcji określonych między przestrzeniami metrycznymi będąca wzmocnieniem pojęcia ciągłości.

Definicja

Niech ${\displaystyle (X,\varrho )}$ i ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech ${\displaystyle f\colon X\to Y.}$

Funkcję ${\displaystyle f}$ nazywamy jednostajnie ciągłą, gdy dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje takie ${\displaystyle \delta >0,}$ że dla wszelkich ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ zachodzi nierówność ${\displaystyle \sigma (f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon ,}$ o ile tylko ${\displaystyle \varrho (x_{1},x_{2})<\delta .}$ Formalnie:

${\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x_{1},x_{2}\in X}\;\varrho (x_{1},x_{2})<\delta \Rightarrow \sigma (f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon .}$

Powyższa charakteryzacja typu Cauchy’ego ma też swój odpowiednik typu Heinego. Mianowicie funkcja ${\displaystyle f}$ jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych dwóch ciągów ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty },(y_{n})_{n=1}^{\infty }}$ zachodzi: ${\displaystyle \varrho (x_{n},y_{n})\to 0\Rightarrow \sigma (f(x_{n}),f(y_{n}))\to 0.}$

Jeżeli przestrzenią metryczną jest zbiór liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ze standardową metryką euklidesową ${\displaystyle \varrho (a,b):=|a-b|,}$ dla ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,}$ to jednostajną ciągłość funkcji ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} ,}$ gdzie ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ jest przedziałem liczb rzeczywistych, można formalnie zapisać

${\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x_{1},x_{2}\in I}\;|x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon .}$

Własności funkcji jednostajnie ciągłych

• Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła.

Dowód. Jeśli ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ jest odwzorowaniem między dwiema przestrzeniami metrycznymi ${\displaystyle (X,\varrho )}$ i ${\displaystyle (Y,\sigma ),}$ to ciągłość ${\displaystyle f}$ oznacza, że dla każdego punktu ${\displaystyle x\in X}$ i każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ takie istnieje ${\displaystyle \delta _{x,\varepsilon }>0}$ (indeks dolny przy ${\displaystyle \delta }$ oznacza, że liczba ta zależy od ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle \varepsilon }$) taka, że obraz ${\displaystyle f(K(x,\delta _{x,\varepsilon }))}$ kuli ${\displaystyle K(x,\delta _{x,\varepsilon })}$ o środku ${\displaystyle x}$ i promieniu ${\displaystyle \delta _{x,\varepsilon }}$ zawiera się w kuli o środku ${\displaystyle f(x)}$ i promieniu ${\displaystyle \varepsilon .}$ Jednostajna ciągłość ${\displaystyle f}$ oznacza, że dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje takie ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }>0,}$ że obraz ${\displaystyle f(K)}$ dowolnej kuli ${\displaystyle K}$ o promieniu ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }}$ zawiera się w kuli o promieniu ${\displaystyle \varepsilon .}$ Jednostajna ciągłość to zatem warunek silniejszy niż ciągłość.

• Jeśli ${\displaystyle (x_{n})}$ jest ciągiem Cauchy’ego elementów przestrzeni ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ jest jednostajnie ciągła, to ciąg ${\displaystyle (f(x_{n}))}$ jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni ${\displaystyle Y.}$

Dowód. Niech ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Na mocy jednostajnej ciągłości ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ istnieje taka liczba ${\displaystyle \delta >0,}$ że dla dowolnych ${\displaystyle x,y\in X}$ spełniających warunek ${\displaystyle \varrho (x,y)<\delta }$ zachodzi oszacowanie ${\displaystyle \sigma (f(x),f(y))<\varepsilon .}$ Skoro ${\displaystyle (x_{n})}$ jest ciągiem Cauchy’ego, to istnieje taka liczba naturalna ${\displaystyle N,}$ że dla ${\displaystyle n,k\geqslant N}$ zachodzi ${\displaystyle \varrho (x_{n},x_{k})<\delta ,}$ a zatem ${\displaystyle \sigma (f(x_{n}),f(x_{k}))<\varepsilon }$ dla ${\displaystyle n,k\geqslant N.}$ Dowodzi to, że ciąg ${\displaystyle (f(x_{n}))}$ jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle _{\square }}$

Twierdzenie to jest kryterium pozwalającym sprawdzić, czy dana funkcja nie jest jednostajnie ciągła. Np. niech ${\displaystyle f\colon (0,2)\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją daną wzorem ${\displaystyle f(x)=1/x.}$ Wówczas ciąg ${\displaystyle (1/n)}$ jest ciągiem Cauchy’ego, jednak ${\displaystyle f(1/n)=n,}$ czyli ciąg ${\displaystyle (f(1/n))}$ nie jest ciągiem Cauchy’ego w ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Wobec powyższego ${\displaystyle f}$ nie jest jednostajnie ciągła.

• Niech ${\displaystyle (X,\varrho )}$ będzie całkowicie ograniczoną przestrzenią metryczną (np. ${\displaystyle X}$ jest ograniczonym przedziałem liczb rzeczywistych). Wówczas każda funkcja jednostajnie ciągła ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$ jest ograniczona.

Dowód. Dla ${\displaystyle \varepsilon =1}$ niech ${\displaystyle \delta >0}$ będzie takie, iż dla dowolnych ${\displaystyle x,y\in X}$ spełniających warunek ${\displaystyle \varrho (x,y)<\delta }$ zachodzi oszacowanie ${\displaystyle |f(y)-f(x)|<1.}$ Niech ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{n}}$ będzie ciągiem kul otwartych o promieniu ${\displaystyle \delta ,}$ których suma jest równa ${\displaystyle X.}$ Niech ${\displaystyle x_{i}}$ będzie środkiem ${\displaystyle K_{i}(i\leqslant n).}$ Niech ${\displaystyle M=\max\{|f(x_{i})|\colon i\leqslant n\}.}$

Ustalmy ${\displaystyle y\in X.}$ Wówczas ${\displaystyle y\in K_{i_{y}}}$ dla pewnego ${\displaystyle i_{y}\leqslant n.}$ Ostatecznie

${\displaystyle |f(y)|=|f(y)-f(x_{i_{y}})+f(x_{i_{y}})|\leqslant 1+M,}$

co dowodzi ograniczoności ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle _{\square }}$

• Każda funkcja spełniająca warunek Lipschitza jest jednostajnie ciągła.

Dowód. Niech ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą ${\displaystyle L.}$ Niech ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ oraz niech dany będzie ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Gdy ${\displaystyle \delta =\varepsilon /L,}$ to ${\displaystyle \sigma (f(x_{1}),f(x_{2}))\leqslant L\cdot \varrho (x_{1},x_{2})\leqslant L\cdot \varepsilon /L=\varepsilon ,}$ o ile tylko ${\displaystyle \varrho (x_{1},x_{2})\leqslant \delta .}$ ${\displaystyle _{\square }}$

• Funkcja jednostajnie ciągła, która nie spełnia warunku Lipschitza to np. pierwiastek ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ na przedziale ${\displaystyle [0,1].}$

• Każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła (twierdzenie Heinego-Cantora).

• W szczególności, każda funkcja określona i ciągła na przedziale domkniętym [${\displaystyle a,b}$] jest jednostajnie ciągła. Na przedziale otwartym już tak nie musi być, na przykład funkcja ${\displaystyle f(x)=1/x}$ na przedziale (0, 1) jest ciągła, ale nie jest jednostajnie ciągła. Jeśli jednak granice funkcji na otwartych końcach przedziału istnieją, to na takim przedziale funkcja również będzie jednostajnie ciągła.

Uogólnienie na przestrzenie liniowo-topologiczne

Niech ${\displaystyle U,V}$ będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówimy, że odzworowanie ${\displaystyle f\colon U\longrightarrow V}$ jest jednostajnie ciągłe, jeśli dla każdego otoczenia ${\displaystyle B}$ zera przestrzeni ${\displaystyle V}$ istnieje otoczenie ${\displaystyle A}$ zera przestrzeni ${\displaystyle U}$ takie, że dla każdych ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in A}$

${\displaystyle v_{1}-v_{2}\in A\Rightarrow f(v_{1})-f(v_{2})\in B.}$

Zobacz też

• ciągłość funkcji
• warunek Lipschitza

Bibliografia

• J.B. Conway, Functions of One Complex Variable I (Graduate Texts in Mathematics 11). Springer-Verlag. ​ISBN 0-387-90328-3​, s. 25–28.
• S.C. Malik, Principles of Real Analysis, New Age International, 1982, s. 127–129.
• K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2020.
• W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej, cz. 1: Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo Naukowe UMK, 2009. ​ISBN 978-83-231-2352-1​.