Funkcja liniowa

Funkcja liniowa – funkcja wielomianowa co najwyżej pierwszego stopnia^[a], tj. postaci^[1]:

${\displaystyle x\mapsto ax+b,}$

gdzie ${\displaystyle a,b}$ są pewnymi stałymi liczbowymi (parametrami). W artykule rozpatrywane są funkcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, choć można wykorzystać liczby zespolone.

O dwóch zmiennych, z których każda jest funkcją liniową drugiej, mówi się, że są liniowo zależne lub w zależności liniowej.

Nazwa funkcji pochodzi od kształtu jej wykresu, który jest linią prostą daną równaniem ${\displaystyle y=ax+b.}$ Jednak w algebrze liniowej „liniowość” definiuje nie w oparciu o własności geometryczne, lecz o własności algebraiczne zachowujące strukturę tzw. przestrzeni liniowych. Funkcje mające tę własność nazywa się przekształceniami liniowymi lub odwzorowaniami liniowymi, a określenie „funkcja liniowa” rezerwuje się dla funkcji opisywanych w tym artykule. Funkcja liniowa jest przekształceniem liniowym, jeśli jest funkcją jednorodną, tj. gdy ${\displaystyle b=0;}$ mają one wówczas postać proporcjonalności prostej ${\displaystyle x\mapsto ax.}$

Funkcje liniowe mają wiele zastosowań związanych z ich regularną strukturą i znanymi własnościami – w szczególności geometrycznymi: korzysta się z nich podczas linearyzacji bardziej skomplikowanych zagadnień, np. przybliżania liniowego; w statystyce korzysta się z metody estymacji (szacowaniu) zależności między dwoma zbiorami danych nazywaną regresją liniową (popularną jej metodą jest metoda najmniejszych kwadratów), w której poszukuje się właśnie zależności będącej funkcją liniową przy jak najmniejszym błędzie standardowym.

Definicja

Niech ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych (o rzeczywistych dziedzinie i przeciwdziedzinie). Funkcję ${\displaystyle f}$ nazywa się liniową, jeżeli dana jest wzorem

${\displaystyle f(x)=ax+b,}$

gdzie ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są ustalonymi stałymi rzeczywistymi. Niektóre źródła^[2] wymagają dodatkowo, aby ${\displaystyle f}$ była niezdegenerowana, tj.

${\displaystyle a\neq 0.}$

Większość źródeł nie stawia takich wymagań.

Współczynnik ${\displaystyle a}$ nazywany jest współczynnikiem kierunkowym, współczynnik ${\displaystyle b}$ wyrazem wolnym.

Własności

Jeśli ${\displaystyle a\neq 0,}$ to ${\displaystyle f}$ jest nieograniczona, nieokresowa i monotoniczna: rosnąca dla ${\displaystyle a>0}$ i malejąca dla ${\displaystyle a<0,}$ ponadto jest różnowartościowa i „na”, a co za tym idzie wzajemnie jednoznaczna. Jest więc odwracalna (jej funkcja odwrotna również jest liniowa). Jeśli ${\displaystyle b=0,}$ to ${\displaystyle f}$ jest nieparzysta.

Jeśli ${\displaystyle a=0,}$ to ${\displaystyle f}$ jest funkcją stałą i jako taka jest ograniczona, parzysta, nie jest również różnowartościowa ani „na”, czyli wzajemnie jednoznaczna. Nie jest więc odwracalna. Jeśli dodatkowo ${\displaystyle b=0,}$ to jest jednocześnie nieparzysta.

Jeśli ${\displaystyle a\neq 0,}$ to ${\displaystyle f}$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe postaci ${\displaystyle -{\tfrac {b}{a}}.}$ Jeśli ${\displaystyle a=0,}$ to ${\displaystyle f}$ nie ma miejsc zerowych, gdy ${\displaystyle b\neq 0}$ i ma nieskończenie miejsc zerowych, gdy ${\displaystyle b=0.}$

Funkcję liniową wystarczy określić dla dowolnych dwóch różnych argumentów. Istotnie, jeśli ${\displaystyle y_{1}=f(x_{1}),\;y_{2}=f(x_{2}),}$ to:

${\displaystyle f(x)={\tfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}x+{\tfrac {y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Funkcja liniowa (jako funkcja wielomianowa) jest ciągła i różniczkowalna (a więc także gładka), przy czym pierwsza pochodna jest równa ${\displaystyle a,}$ a kolejne są tożsamościowo równe zeru.

Wykres funkcji liniowej

Wykresy trzech funkcji liniowych. Funkcje o równoległych wykresach zaznaczonych kolorami czerwonym i niebieskim mają ten sam współczynnik kierunkowy, z kolei funkcje o wykresami w kolorach czerwonym i zielonym mają równe wyrazy wolne, skąd mają ten sam punkt przecięcia z osią ${\displaystyle OY.}$

W układzie współrzędnych prostoliniowych (na płaszczyźnie) funkcja liniowa ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$ ma wykres będący prostą, przy czym

• przecina ona oś ${\displaystyle OY}$ w punkcie ${\displaystyle (0,b)}$
• przecina ona oś ${\displaystyle OX}$ w punkcie ${\displaystyle (-{\tfrac {b}{a}},0)}$ dla ${\displaystyle a\neq 0,}$ nie przecina tej osi, gdy ${\displaystyle a=0,\,\,b\neq 0.}$

W układzie współrzędnych prostokątnych (tzn. o prostopadłych osiach) z równymi jednostkami (tzn. wektorami jednostkowymi definiującymi osie) zachodzi

${\displaystyle a={\text{tg}}\ \alpha ,}$

gdzie ${\displaystyle \alpha }$ jest kątem skierowanym między wykresem i osią ${\displaystyle OX.}$

Oznacza to, że współczynnik kierunkowy jest tangensem kąta skierowanego ${\displaystyle \alpha ,}$ co tłumaczy nazwę tego współczynnika.

Każda prosta nierównoległa do osi ${\displaystyle OY}$ jest wykresem pewnej funkcji liniowej.

Własności grupowe i reprezentacja macierzowa

• Złożenie dwóch funkcji liniowych jest funkcją liniową. Niech:

${\displaystyle f(x)=ax+b,\;\;g(x)=a_{1}x+b_{1}.}$

Wówczas

${\displaystyle (g\circ f)\,(x)=a_{1}(ax+b)+b_{1}=a_{1}ax+a_{1}b+b_{1}}$

także jest funkcją liniową.

• Dla funkcji ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ i ${\displaystyle e(x)=x}$ zachodzi

${\displaystyle (f\circ e)\,(x)=(e\circ f)\,(x)=f(x).}$

• Ponadto dla funkcji ${\displaystyle f(x)=ax+b,}$ w której ${\displaystyle a\neq 0,}$ funkcja ${\displaystyle g(x)={\tfrac {1}{a}}x-{\tfrac {b}{a}}}$ jest funkcją odwrotną:

${\displaystyle (f\circ g)\,(x)=(g\circ f)\,(x)=e(x).}$

Ponieważ niezdegenerowana funkcja liniowa jest bijekcją, więc działanie składania takich funkcji jest działaniem łącznym. Oznacza to, że zbiór niezdegenerowanych funkcji liniowych jest grupą.

Funkcję liniową ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ można reprezentować jako macierz postaci:

${\displaystyle F={\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}}.}$

przy tym mnożeniu takich macierzy odpowiada składanie funkcji liniowych.

Własności algebraiczne zbioru funkcji liniowych wynikają z własności pierścienia macierzy górnotrójkątnych powyższej postaci. Jeśli dodatkowo ${\displaystyle a\neq 0,}$ to macierze te tworzą grupę ze względu na mnożenie^[b].

Własności geometryczne i uogólnienia

Niezdegenerowana funkcja liniowa ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ postaci ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ jest podobieństwem prostej ${\displaystyle \mathbb {R} }$ na siebie, przy tym ${\displaystyle |a|}$ jest skalą tego podobieństwa.

Ponadto:

• dla ${\displaystyle a=1,\,b=0}$ jest to tożsamość,
• dla ${\displaystyle a=1,\,b\neq 0}$ jest to translacja o przesunięciu ${\displaystyle b,}$
• dla ${\displaystyle a=-1}$ jest to symetria środkowa względem punktu ${\displaystyle {\tfrac {b}{2}}.}$

Dla ${\displaystyle a>0}$ jest to podobieństwo parzyste (z zachowaniem orientacji), dla ${\displaystyle a<0}$ jest to podobieństwo nieparzyste (ze zmianą orientacji)^[c].

Jeśli ${\displaystyle f}$ nie jest translacją, tj. ${\displaystyle a\neq 1,}$ to ma ona punkt stały ${\displaystyle {\tfrac {b}{1-a}}.}$

Funkcja liniowa niezdegenerowana ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ma swoje uogólnienie na płaszczyznę ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ i ogólniej – na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ i nazywa się wówczas przekształceniem afinicznym (w przypadku prostej przekształcenia afiniczne sprowadzają się do podobieństw):

${\displaystyle f(x)=ax+b,}$

gdzie ${\displaystyle x,b\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle a}$ jest nieosobliwą macierzą ${\displaystyle n\times n.}$

Jest to najogólniejsza struktura, w której możliwe jest zdefiniowanie funkcji o tym wzorze.

Innym uogólnieniem niezdegenerowanej funkcji liniowej jest funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ postaci

${\displaystyle f(x)=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b,}$

gdzie nie wszystkie ${\displaystyle a_{i}}$ są zerowe.

Jej wykresem jest pewna hiperpłaszczyzna w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Przykłady zależności liniowych

• Wartość ${\displaystyle n}$-tego wyrazu ${\displaystyle a_{n}}$ ciągu arytmetycznego jest liniową funkcją jego numeru ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle a_{n}=rn+a_{1}-r,}$

gdzie ${\displaystyle r}$ jest różnicą ciągu, ${\displaystyle a_{1}}$ jego pierwszym wyrazem.

• Temperatura ${\displaystyle T_{F}}$ w skali Fahrenehita jest liniową funkcją temperatury ${\displaystyle T_{C}}$ w skali Celsjusza:

${\displaystyle T_{\mathrm {F} }={\tfrac {9}{5}}T_{\mathrm {C} }+32.}$

• W kinematyce: w ruchu jednostajnym prostoliniowym położenie ${\displaystyle x_{t}}$ jest liniową funkcją czasu ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle \mathrm {x} _{t}=\mathbf {v} t+\mathrm {x} _{0},}$

gdzie ${\displaystyle v}$ jest prędkością, ${\displaystyle x_{0}}$ położeniem początkowym.

W ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość ${\displaystyle v_{t}}$ jest liniową funkcją czasu ${\displaystyle t.}$

${\displaystyle v_{t}=at+v_{0},}$

gdzie ${\displaystyle a}$ jest przyspieszeniem, ${\displaystyle v_{0}}$ jest prędkością początkową.

• Efekt Dopplera: jeśli obserwator zbliża się z prędkością ${\displaystyle v_{o}}$ do nieruchomego źródła fali o częstotliwości ${\displaystyle f_{z},}$ to częstotliwość ${\displaystyle f_{o}}$ odbieranej przez niego fali jest funkcją liniową jego własnej prędkości ${\displaystyle v_{o}}$:

${\displaystyle f_{o}={\tfrac {f_{z}}{v}}v_{o}+f_{z},}$

gdzie ${\displaystyle v}$ jest prędkością fali w ośrodku.

Zobacz też

• funkcja homograficzna
• funkcja kwadratowa
• funkcja przedziałami liniowa
• funkcja tożsamościowa

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Jacek Gancarzewicz: Algebra liniowa i jej zastosowanie. Uniwersytet Jagielloński, 2014. ISBN 83-233-1832-8.
• Włodzimierz Waliszewski: Encyklopedia szkolna. Warszawa: Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne, 1988. ISBN 83-02-02551-8. s. 312
• Marek Kordos, Lesław Szczerba: Geometria dla nauczycieli. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.