Funkcja logarytmiczna

Logarytmy o różnych podstawach:
jasnoniebieski ma podstawę 1/2,
czerwony ma podstawę 2,
zielony podstawę e,
ciemnoniebieski ma podstawę 10

Funkcja logarytmiczna – funkcja ${\displaystyle f\colon (0,\infty )\to \mathbb {R} ,}$ określona wzorem ${\displaystyle f(x)=\log _{a}x}$ (dla pewnego ustalonego ${\displaystyle a\in (0,1)\cup (1,\infty )}$). Jest funkcją przestępną zaliczaną do funkcji elementarnych.

Ważnym przykładem funkcji logarytmicznej jest logarytm naturalny.

Funkcja logarytmiczna ${\displaystyle \log _{a}x}$ jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej ${\displaystyle a^{x},}$ dlatego jej wykres jest osiowo symetryczny względem osi ${\displaystyle y=x}$ do wykresu danej funkcji wykładniczej.

Każde dwie funkcje logarytmiczne o różnych podstawach ${\displaystyle \log _{b}x,\;\log _{a}x}$ są do siebie proporcjonalne, więc podstawa logarytmu (o ile tylko jest liczbą większą od 1) jest w niektórych porównaniach nieistotna. Tak jest na przykład w teorii złożoności obliczeniowej przy określaniu czasu działania algorytmów w sensie asymptotycznym.

Własności

• Dla dowolnych ${\displaystyle x,y>0}$

${\displaystyle \log _{a}xy=\log _{a}x+\log _{a}y,}$

także

${\displaystyle \log _{a}1=0.}$

• Funkcja logarytmiczna jest ściśle (silnie) monotoniczna w całej dziedzinie:
  • dla ${\displaystyle a>1}$ jest silnie rosnąca,
  • dla ${\displaystyle 0<a<1}$ jest silnie malejąca.

Stąd jest również różnowartościowa.

• Granice funkcji:
  • dla ${\displaystyle a>1\colon \quad \qquad \lim _{x\to 0}\log _{a}x=-\infty \qquad \lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=+\infty }$
  • dla ${\displaystyle 0<a<1\colon \quad \lim _{x\to 0}\log _{a}x=+\infty \qquad \lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=-\infty }$

Stąd jest nieograniczona i jest suriekcją.

• Jest różniczkowalna w całej swojej dziedzinie, jest więc także ciągła:

${\displaystyle (\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}.}$

Ponadto funkcja ta nie jest parzysta ani nieparzysta, nieokresowa,

Zobacz też

• logarytm
• suwak logarytmiczny