Funkcja lokalnie całkowalna

Funkcja lokalnie całkowalna – funkcja która jest całkowalna na każdym zbiorze zwartym, ale może nie być całkowalna na zbiorach otwartych. Takie funkcje mają zastosowanie w analizie funkcjonalnej i odgrywają także ważną rolę w teorii dystrybucji. Pojęcie funkcji lokalnie całkowalnych można uogólnić do pojęcia funkcji lokalnie p-całkowalnych.

Definicja

Zdefiniujemy funkcje lokalnie całkowalne oraz przestrzeń funkcyjną ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{1}.}$ Niech ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ będzie zbiorem otwartym i niech ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {C} }$ będzie funkcją mierzalną względem miary Lebesgue’a. Funkcję ${\displaystyle f}$ nazwiemy lokalnie całkowalną, jeśli dla każdego zbioru zwartego ${\displaystyle K\subset \Omega }$ całka Lebesgue’a jest skończona, czyli

${\displaystyle \int _{K}|f(x)|\,\mathrm {d} x<\infty .}$

Zbiór wszystkich takich funkcji oznaczymy ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )}$^[1]. Jeśli utożsamimy ze sobą te funkcje z ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega ),}$ które są równe prawie wszędzie, to otrzymamy w ten sposób przestrzeń unormowaną ${\displaystyle L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )}$^[2].

Równoważna definicja wypływa z teorii dystrybucji:

${\displaystyle L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega ):=\left\{f\in L^{0}(\Omega )\,\left|\,\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\phi (x)\,\mathrm {d} x<\infty ,\ \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega )\right.\right\},}$

gdzie ${\displaystyle L^{0}(\Omega )}$ oznacza przestrzeń funkcji mierzalnych z ${\displaystyle \Omega }$ do ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (ściślej: klas równoważności funkcji mierzalnych, które są równe prawie wszędzie), a ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )\cong C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ jest przestrzenią funkcji testowych.

Przykłady

• Funkcja charakterystyczna nieograniczonego zbioru ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ jest całkowalna lokalnie, ale nie jest całkowalna.
• Wszystkie funkcje przestrzeni ${\displaystyle L^{p}}$ są lokalnie całkowalne. W szczególności więc wszystkie funkcje ciągłe są lokalnie całkowalne.
• Funkcja dana wzorem

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}$

nie jest lokalnie całkowalna, bo nie jest całkowalna na żadnym zbiorze zwartym zawierającym ${\displaystyle x=0.}$

Funkcja lokalnie p-całkowalna

Analogicznie do ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )}$ możemy zdefiniować również przestrzeń ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ).}$ Niech ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ będzie zbiorem otwartym lub σ-zwartym. Mierzalną w sensie Lebesgue’a funkcję ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {C} }$ nazwiemy lokalnie p-całkowalną, jeśli wyrażenie

${\displaystyle \int _{K}|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} x}$

istnieje dla ustalonego ${\displaystyle p\geqslant 1}$ wszystkich zbiorów zwartych ${\displaystyle K\subset \Omega }$^[3].

Zobacz też

• funkcja całkowalna

Przypisy