Funkcja odwrotna

Funkcja odwrotnafunkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.

Definicja

Jeżeli odwzorowuje na to odwzorowuje na

Funkcję nazywamy odwracalną w gdy istnieje funkcja taka, że:

dla każdego
dla każdego

Innymi słowy jest taką funkcją, że złożenia oraz są identycznościami, odpowiednio, na zbiorze i Funkcję nazywamy funkcją odwrotną do i oznaczamy symbolem

Bezpośrednio z definicji wynika, że jest funkcją odwracalną w wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), czyli jednocześnie jest funkcją różnowartościową (iniekcją) i funkcją „na” (surjekcją).

Oznaczenia nie należy mylić z symbolem

Istnienie

Nie dla każdej funkcji istnieje funkcja do niej odwrotna.

Twierdzenie

Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej relacja odwrotna jest funkcją nazywaną wówczas funkcją odwrotną; relacja odwrotna, to relacja otrzymana przez zamienienie miejscami jej argumentów.

Wynika z tego, iż relacja ze zbioru wartości do zbioru argumentów dla danej funkcji niebędącej bijekcją nie musi być funkcją.

Wyznaczanie

Wyznaczenie funkcji odwrotnej do danej polega na rozwiązaniu równania

względem niewiadomej Rozwiązanie, czyli

to poszukiwana funkcja odwrotna.

Przykłady

Funkcja ma odwrotną ponieważ odwzorowuje na 3, to przekształca 3 w
  • Przypisanie numeru PESEL każdemu (żyjącemu) Polakowi można odwrócić w naturalny sposób: znajdując Polaka według numeru PESEL. (Zakładając, że funkcja przypisująca PESEL jest injekcją, co nie jest prawdą z powodu błędów w przyznawaniu numerów PESEL[1])
  • Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej.
  • Funkcją odwrotną do funkcji liczbowej danej wzorem jest funkcja
  • Funkcja nie jest odwracalna jako funkcja określona na zbiorze liczb całkowitych – chociażby dlatego, że (nie jest różnowartościowa), jak również i na zbiorze liczb naturalnych, ponieważ nie jest surjekcją, w związku z tym funkcja dana wzorem dla nie jest funkcją odwrotną do funkcji
  • Funkcją odwrotną do funkcji danej wzorem dla jest ona sama, tzn. (zob. Inwolucje).

Własności

Jednoznaczność

Jeżeli funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona wyznaczona jednoznacznie: jest ona relacją odwrotną.

Symetria

Między funkcją a funkcją do niej odwrotną istnieje symetria. Dokładniej, jeśli odwrotną do jest to odwrotną do jest funkcja Symbolicznie:

Obserwacja ta zachodzi na mocy uwagi, iż odwrotność relacji jest inwolucją: powtórzenie tej operacji cofa do punktu wyjścia. Własność symetrii może być wyrażona krótko za pomocą wzoru:

Odwrotność złożenia

Funkcją odwrotną do jest

Funkcja odwrotna do złożenia funkcji dana jest wzorem

Należy zwrócić uwagę na zmianę porządku i aby odwrócić działanie następującego po należy najpierw odwrócić a następnie odwrócić

Inwolucje

Jeżeli jest dowolnym zbiorem, to funkcja tożsamościowa na jest swoją własną odwrotnością:

Ogólniej, jeżeli funkcja jest równa swojej odwrotności wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie jest równe Takie funkcje nazywa się inwolucjami.

Zachowywane własności

  • Funkcja odwrotna do funkcji monotonicznej jest monotoniczna: odwrotna do rosnącej jest rosnąca, zaś odwrotna do malejącej jest malejąca.
  • Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej jest ciągła.
  • Funkcja odwrotna do funkcji różniczkowalnej jest różniczkowalna wszędzie, z wyjątkiem obrazów punktów, dla których w szczególności
  • Dla funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej jej wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych (o równaniu ) jest symetryczny do wykresu funkcji odwrotnej do niej (o równaniu ) względem prostej [2].

Przypisy

  1. Przez pomyłkę nadano kilku tysiącom osób ten sam numer PESEL. wiadomosci.wp.pl. [dostęp 2017-11-08]. (pol.).
  2. funkcja odwrotna, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-08].

Media użyte na tej stronie

Inverse Functions Domain and Range.png
If fX → Y, then f–1Y → X.
Composition of Inverses.png
The inverse of a composition is the composition of the inverses, but in the reverse order.