Funkcja prosta

Funkcja prosta – funkcja przyjmująca skończenie wiele wartości. Szczególnym jej przypadkiem jest funkcja charakterystyczna zbioru przyjmująca co najwyżej dwie (co najmniej jedną z) wartości: ${\displaystyle 0}$ i ${\displaystyle 1.}$

Definicja

Niech ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ będzie σ-ciałem podzbiorów pewnego zbioru ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle A\subseteq X.}$ Funkcję ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ nazywa się funkcją prostą, jeżeli ${\displaystyle f}$ jest nieujemną funkcją mierzalną, przyjmującą skończoną liczbę wartości należących do przedziału ${\displaystyle [0,\infty ).}$

Własności

Postać funkcji prostej

Dla dowolnej funkcji prostej ${\displaystyle f\colon A\to [0,+\infty ),}$ gdzie ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}$ istnieje ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ oraz nieujemne liczby ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ i zbiory ${\displaystyle A\supseteq B_{1},\dots ,B_{n}\in {\mathcal {F}},}$ dla których

${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}~a_{i}\chi _{B_{i}},}$

gdzie ${\displaystyle \chi _{B_{i}}}$ jest funkcją charakterystyczną zbioru ${\displaystyle B_{i}}$^[a].

Zobacz też

• funkcja charakterystyczna zbioru
• funkcja mierzalna

Uwagi