Funkcja różniczkowalna

Funkcja różniczkowalna – funkcja, która ma pochodną w każdym punkcie swej dziedziny, i której wartość w każdym jej punkcie jest skończona (różna od ${\displaystyle \infty }$ i ${\displaystyle -\infty }$).

W szczególności funkcja pochodna danej funkcji określona jest w tej samej dziedzinie co funkcja.

Funkcja n-krotnie różniczkowalna

Definicja:

(1) Jeżeli funkcja ${\displaystyle f}$ ma pochodną ${\displaystyle g\equiv f^{\,'}}$ określoną w zbiorze ${\displaystyle A}$ oraz funkcja ${\displaystyle g}$ ma pochodną ${\displaystyle h\equiv g^{\,'}}$ określoną w zbiorze ${\displaystyle B\subset A}$ to mówimy, że

• ${\displaystyle f}$ jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze ${\displaystyle B,}$
• funkcja ${\displaystyle h}$ jest drugą pochodną funkcji ${\displaystyle f}$ określoną na zbiorze ${\displaystyle B.}$

(2) Funkcję nazywa się ${\displaystyle n}$-krotnie różniczkowalną, jeżeli istnieje ${\displaystyle n}$ kolejnych pochodnych obliczonych z danej funkcji.

Funkcja klasy Cⁿ

Motywacja

Jeżeli dana funkcja jest różniczkowalna w całej dziedzinie, to nie oznacza automatycznie, że funkcja pochodna jest ciągła. Jeżeli funkcja pochodna jest ciągła, to o samej funkcji mówi się, że jest klasy ${\displaystyle C^{1},}$ w przeciwnym zaś razie o funkcji mówi się, że jest klasy ${\displaystyle C^{0}.}$ Czasem potrzebne jest wymaganie, by pochodna ${\displaystyle n}$-tego rzędu była ciągła – stąd ogólna definicja funkcji klasy ${\displaystyle C^{n}.}$

Uwaga powyższa dotyczy funkcji zmiennej rzeczywistej – w przypadku funkcji zmiennej zespolonej różniczkowalność automatycznie pociąga za sobą analityczność.

Definicja

(1) Funkcję ${\displaystyle f}$ określoną na przedziale ${\displaystyle (a,b)}$ nazywa się funkcją klasy ${\displaystyle C^{n},}$ gdzie ${\displaystyle n=1,2,\dots ,}$ jeżeli w przedziale ${\displaystyle (a,b)}$ ma ${\displaystyle n}$ ciągłych pochodnych.

(2) Funkcje klasy ${\displaystyle C^{0}}$ to funkcje ciągłe.

(3) Funkcje klasy ${\displaystyle C^{\infty }}$ (C-nieskończoność) to funkcje różniczkowalne dowolną liczbę razy. Klasę ${\displaystyle C^{\infty }}$ nazywa się też klasą funkcji gładkich.

Przykłady

• Funkcja klasy ${\displaystyle C^{1}(\mathbb {R} )}$ jest funkcją ciągłą, której pochodna też jest ciągła.
• Wielomiany, funkcje wykładnicze, sinus i cosinus, sinus hiperboliczny, cosinus hiperboliczny i tangens hiperboliczny, są funkcjami klasy ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ).}$
• Funkcja ${\displaystyle f(x)=|x|}$ jest klasy ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} ),}$ ale nie klasy ${\displaystyle C^{1}(\mathbb {R} ).}$
• Funkcja dana wzorem:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3}\cdot \sin \left({\frac {1}{x}}\right),&\mathrm {gdy\ } x\neq 0,\\0,&\mathrm {gdy\ } x=0\end{cases}}}$

jest klasy ${\displaystyle C^{1}(\mathbb {R} ),}$ ale nie jest klasy ${\displaystyle C^{2}(\mathbb {R} ).}$

Zobacz też

• funkcja całkowalna
• funkcja holomorficzna