Funkcja rozkładu

Funkcja rozkładu – w fizyce jest to wielkość równa liczbie cząstek (gazu lub cieczy) mających w danej chwili określone z zadaną dokładnością położenie i prędkość. Funkcja rozkładu jest podstawowym pojęciem kinetycznej teorii gazów, fizyki statystycznej i mechaniki płynów.

Definicja

W kinetycznej teorii gazów funkcja rozkładu ${\displaystyle f}$ jest funkcją siedmiu parametrów makroskopowych: trzech składowych położenia ${\displaystyle (x,y,z),}$ trzech składowych prędkości ${\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})}$ i czasu ${\displaystyle t.}$ Definiuje się ją tak, by wyrażenie

${\displaystyle f(x,y,z;v_{x},v_{y},v_{z};t)\,d^{3}r\,d^{3}v}$

równe było liczbie cząstek mających w chwili ${\displaystyle t}$ prędkość w elemencie objętości ${\displaystyle d^{3}v}$ wokół prędkości ${\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})}$ i położenie w elemencie objętości ${\displaystyle d^{3}r}$ wokół punktu ${\displaystyle (x,y,z).}$

W równaniu powyższym wielkości ${\displaystyle d^{3}v}$ i ${\displaystyle d^{3}r}$ nie są wielkościami infinitezymalnymi w sensie matematycznym. Typowe w matematyce przejście graniczne

${\displaystyle d^{3}v\to 0,\quad d^{3}r\to 0}$

jest na gruncie fizyki klasycznej jałowe, gdyż prowadzi do utraty ciągłości i gładkości ${\displaystyle f}$ (patrz: teoria dystrybucji), a na gruncie fizyki kwantowej – wręcz niewykonalne (patrz: zasada nieoznaczoności). Dlatego ${\displaystyle d^{3}v}$ i ${\displaystyle d^{3}r}$ należy rozumieć jako elementy objętości na tyle duże, by zawierały bardzo dużą liczbę cząstek (np. ${\displaystyle 10^{9}}$); jednocześnie na tyle małe, by były dużo mniejsze od charakterystycznych długości dla zjawisk makroskopowych opisywanych funkcją rozkładu (np. ${\displaystyle d^{3}r\approx 10^{-10}\,\mathrm {cm} ^{3}}$). Dzięki takiej definicji funkcję rozkładu można traktować jako ciągłą i różniczkowalną funkcję swoich siedmiu parametrów.

Własności

Funkcja rozkładu spełnia warunki

${\displaystyle n(x,y,z,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y,z;v_{x},v_{y},v_{z};t)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}}$

${\displaystyle N(t)=\int \!\!\int \!\!\int _{V}n(x,y,z,t)\,dx\,dy\,dz,}$

gdzie:

${\displaystyle n(x,y,z,t)}$ – koncentracja cząstek w chwili ${\displaystyle t}$ w punkcie ${\displaystyle (x,y,z),}$

${\displaystyle N(t)}$ – liczba cząstek w chwili ${\displaystyle t}$ w zadanej objętości ${\displaystyle V,}$

${\displaystyle V}$ – pewna zadana objętość.

Przestrzeń μ

Przestrzeń rozpięta przez siedem argumentów funkcji rozkładu, czyli trzech składowych położenia ${\displaystyle (x,y,z),}$ trzech składowych prędkości ${\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})}$ i czasu ${\displaystyle t}$ zwana jest przestrzenią μ.

Zobacz też

• równanie Boltzmanna

Bibliografia

• Kerson Huang, Mechanika statystyczna, wydanie II, PWN, Warszawa 1987.