Funkcja sinc

Znormalizowana i nieznormalizowana funkcja sinc

Nieznormalizowana funkcja sinc (od łac. sinus cardinalis, również funkcja interpolująca lub pierwsza sferyczna funkcja Bessela) – funkcja definiowana jako:

${\displaystyle \operatorname {sinc} \ x={\begin{cases}{\frac {\sin x}{x}}&{\text{dla }}x\neq 0\\1&{\text{dla }}x=0\end{cases}}}$

gdzie ${\displaystyle \sin }$ oznacza funkcję sinus.

Znormalizowana funkcja sinc, oznaczana tym samym symbolem:

${\displaystyle \operatorname {sinc} \ x={\begin{cases}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}&{\text{dla }}x\neq 0\\1&{\text{dla }}x=0\end{cases}}}$

Funkcja sinc jest transformatą Fouriera funkcji prostokątnej. Ma szerokie zastosowanie w przetwarzaniu sygnałów i analizie filtrów. W teorii sygnałów zwana jest też jako Sa od angielskiego słowa sampling (próbkowanie).

Własności

Lokalne ekstrema ${\displaystyle \sin x/x}$ znajdują się na przecięciu z funkcją cosinus.

• Funkcja jest parzysta i różniczkowalna (a tym samym ciągła).

• Miejscami zerowymi nieznormalizowanej funkcji sinc są całkowite niezerowe wielokrotności liczby ${\displaystyle \pi ,}$ dla znormalizowanej funkcji są to wszystkie niezerowe liczby całkowite.

• Wykresy funkcji ${\displaystyle \sin x/x}$ i ${\displaystyle \cos x}$ przecinają się w tych punktach płaszczyzny, w których ${\displaystyle \sin x/x}$ osiąga ekstrema lokalne. Innymi słowy ${\displaystyle \sin \xi /\xi =\cos \xi }$ dla wszystkich punktów ${\displaystyle \xi ,}$ w których pierwsza pochodna funkcji ${\displaystyle \sin x/x}$ jest równa zero. W punkcie ${\displaystyle \xi _{0}=0}$ znajduje się maksimum globalne.

• Znormalizowaną funkcję sinc można zapisać jako iloczyn nieskończony

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}$

• Euler odkrył, że

${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right).}$

• Transformata Fouriera znormalizowanej funkcji sinc (względem częstotliwości) to funkcja prostokątna ${\displaystyle \mathrm {rect} (f)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\mathrm {rect} (f),}$

co oznacza, że funkcja ta jest odpowiedzią impulsową idealnego filtru dolnoprzepustowego. W szczególności zachodzi:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\mathrm {rect} (0)=1}$

Bibliografia

• Jerzy Szabatin, Przetwarzanie sygnałów 2003