Funkcja tożsamościowa

Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem operator jednostkowy (dyskusja). Nie opisano powodu propozycji integracji.

Funkcja tożsamościowa (funkcja identycznościowa, tożsamość, identyczność) – funkcja danego zbioru w siebie, która każdemu argumentowi przypisuje jego samego. Intuicyjnie: funkcja, która „nic nie zmienia”.

W niektórych dyscyplinach matematycznych zamiast słowa funkcja używa się słów odwzorowanie lub przekształcenie.

Gdy funkcja jest określona na specyficznej dziedzinie czy przeciwdziedzinie, to używa się też innych nazw. Np. funkcjonał – funkcja z przestrzeni wektorowej na ciało liczbowe, operator – funkcja z przestrzeni wektorowej na przestrzeń wektorową itp.

Definicja

Funkcją tożsamościową (identycznościową) zbioru ${\displaystyle S}$ nazywa się funkcję ${\displaystyle \operatorname {i} _{S}\colon S\to S}$ daną dla każdego ${\displaystyle x\in S}$ wzorem

${\displaystyle \operatorname {i} _{S}(x)=x.}$

Zwykle funkcję tę oznacza się symbolem zawierającym małą lub dużą literę i lub 1, spotyka się też symbol id. Do najpopularniejszych oznaczeń należą ${\displaystyle \operatorname {id} _{S},}$ ${\displaystyle \operatorname {I} _{S},}$ ${\displaystyle \operatorname {1} _{S},}$ choć dwa ostatnie symbole często oznaczają funkcję charakterystyczną zbioru ${\displaystyle S.}$

Jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień, to opuszcza się indeks dolny wskazujący zbiór, na którym określono funkcję tożsamościową, pisząc: ${\displaystyle \operatorname {id} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {I} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {1} .}$

W języku teorii mnogości, gdzie funkcja definiowana jest jako szczególny rodzaj relacji dwuargumentowej, funkcja tożsamościowa dana jest jako relacja tożsamościowa lub przekątna ${\displaystyle M.}$

Własności

Wykres funkcji tożsamościowej określonej na liczbach rzeczywistych.

Jeżeli ${\displaystyle f\colon M\to N}$ jest dowolną funkcją, to ${\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{M}=f=\operatorname {id} _{N}\circ f,}$ gdzie ${\displaystyle \circ }$ oznacza złożenie funkcji. W szczególności ${\displaystyle \operatorname {id} _{M}}$ jest elementem neutralnym (identycznością) monoidu wszystkich funkcji ${\displaystyle M\to M.}$

Ponieważ element neutralny w monoidzie wyznaczony jest jednoznacznie, to funkcję identycznościową na ${\displaystyle M}$ można zdefiniować również jako wspomniany element neutralny. Taka definicja uogólnia się do pojęcia morfizmu identycznościowego w teorii kategorii, gdzie endomorfizmy ${\displaystyle M}$ nie muszą być funkcjami.

Funkcja identycznościowa jest wzajemnie jednoznaczna. W szczególności odwzorowanie tożsamościowe dowolnej struktury algebraicznej jest jej automorfizmem.

Przykłady

Funkcja liniowa postaci ${\displaystyle x\mapsto x}$ jest tożsamością na zbiorze liczb rzeczywistych.

Zobacz też

• włożenie
• zanurzenie