Funkcja uwikłana

Funkcja uwikłana – funkcja jednej lub wielu zmiennych, która nie jest przedstawiona jako jawna zależność w rodzaju ${\displaystyle y=f(x),}$ ale jako pewne równanie pomiędzy wieloma zmiennymi przedstawione jako ${\displaystyle F(x,y)=0}$^[1].

Definicja

Niech ${\displaystyle X,Y}$ będą przestrzeniami unormowanymi, ${\displaystyle D\subseteq X\times Y}$ oraz ${\displaystyle f\colon D\to Y}$ będzie ciągła. Każdą funkcję ${\displaystyle \varphi \colon U\to Y,}$ gdzie ${\displaystyle U}$ jest pewnym podzbiorem ${\displaystyle X,}$ spełniającą dla każdego ${\displaystyle x\in U}$ równanie ${\displaystyle f(x,\varphi (x))=0}$ nazywamy funkcją uwikłaną funkcji ${\displaystyle f}$ albo funkcją uwikłaną określoną przez równanie ${\displaystyle f(x,y)=0.}$

Wyznaczanie funkcji uwikłanej sprowadza się do rozwiązania równania ${\displaystyle f(x,y)=0}$ względem ${\displaystyle y.}$

Przykłady

• Ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po prostej, zakreśla krzywą, zwaną cykloidą. W odpo­wiednio dobranym kartezjańskim układzie współrzędnych odcięta ${\displaystyle x}$ tego punktu równa jest ${\displaystyle x=r\cdot (t-\sin t).}$ Parametr ${\displaystyle t}$ oznacza odległość, o jaką przetoczył się okrąg, a więc przy stałej prędkości toczenia można wartość ${\displaystyle t}$ utożsamić z upływającym czasem. Każda wartość odciętej ${\displaystyle x}$ odpowiada innej chwili ${\displaystyle t.}$ Można więc mówić o funkcji ${\displaystyle \varphi ,}$ która przypisuje każdej pozycji punktu ${\displaystyle x}$ cykloidy wartość ${\displaystyle t}$ – chwilę, w której punkt znajdował się na pozycji ${\displaystyle x.}$ Funkcja ${\displaystyle \varphi }$ nie daje się wyrazić w sposób jawny, tj. wzorem postaci ${\displaystyle t=\varphi (x)}$ jest to funkcja uwikłana przez równanie ${\displaystyle x=r\cdot (t-\sin t).}$

• Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprze­wodni­kowej. Niech ${\displaystyle U}$ oznacza napięcie elektryczne przyłożone do tego zestawu, zaś ${\displaystyle I}$ natężenie płynącego w nim prądu. Z natury połączenia szeregowego wynika, że natężenie prądu w oporniku i diodzie jest takie samo, równe ${\displaystyle I,}$ zaś napięcie na całym zestawie jest sumą napięć na obu elementach: ${\displaystyle U=U_{d}+U_{r}.}$ Prawo Ohma podaje związek pomiędzy napięciem ${\displaystyle U_{r}}$ na oporniku i płynącym przezeń prądem  ${\displaystyle I,}$

${\displaystyle I={\frac {U_{r}}{R}},}$

gdzie ${\displaystyle R}$ oznacza wartość rezystancji.

Związek pomiędzy napięciem ${\displaystyle U_{d}}$ panującym na diodzie i płynącym przez diodę prądem wyraża równanie Shockleya:

${\displaystyle I=I_{S}\cdot \left(e^{\frac {U_{d}}{c}}-1\right),}$

w którym ${\displaystyle I_{S},c}$ – stałe charakte­rystyczne dla konkretnej diody i temperatury pracy, zaś ${\displaystyle e}$ – podstawa logarytmu naturalnego.

Powyższe związki można rozwiązać ze względu na napięcia, otrzymując:

${\displaystyle U_{r}=I\cdot R,}$

${\displaystyle U_{d}=c\cdot \ln \left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)}$

To pozwala zapisać związek pomiędzy napięciem ${\displaystyle U}$ przyłożonym do połączenia opornik-dioda i natężeniem płynącego prądu ${\displaystyle I}$

${\displaystyle U=I\cdot R+c\cdot \ln \left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)\quad {}}$ ${\displaystyle (\star ).}$

Natężenie prądu zależy od przyłożonego napięcia. Jednak zależność ta nie daje się wyrazić jawnym wzorem – jest to funkcja uwikłana określona przez równanie ${\displaystyle (\star ).}$

Lokalna jednoznaczność funkcji uwikłanej

Zasugerowano, aby ta sekcja została przeniesiona do artykułu twierdzenie o funkcji uwikłanej. (dyskusja)

Aby uniknąć kłopotów z wieloznacznością funkcji uwikłanej, bada się jej istnienie w sensie lokalnym, tj. istnienie takiej funkcji ${\displaystyle y=\varphi (x),}$ która jest określona w pewnym otoczeniu punktu ${\displaystyle x=x_{0},}$ spełnia w tym otoczeniu warunek ${\displaystyle f(x,\varphi (x))=0}$ oraz ${\displaystyle \varphi (x_{0})=y_{0}.}$ Jest to możliwe tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x_{0}}$ i ${\displaystyle y_{0}}$ są tak dobrane, że ${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0.}$ Prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie o funkcji uwikłanej

Niech ${\displaystyle X,Y}$ będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli ${\displaystyle D\subseteq X\times Y}$ jest zbiorem otwartym, a ${\displaystyle f\colon D\to Y}$ funkcją klasy ${\displaystyle C_{1}}$ i dla pewnego punktu ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D}$

${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}$ oraz pochodna cząstkowa ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\in \operatorname {Isom} (Y;Y),}$

to istnieją liczby ${\displaystyle \delta >0}$ i ${\displaystyle \eta >0}$ oraz funkcja ${\displaystyle \varphi \colon k(x_{0},\delta )\to k(y_{0},\eta )}$ klasy ${\displaystyle C_{1},}$ że

1. ${\displaystyle k(x_{0},\delta )\times k(y_{0},\eta )\subseteq D,}$
2. dla każdego punktu ${\displaystyle x\in k(x_{0},\delta )}$ jedynym punktem ${\displaystyle y\in k(y_{0},\eta )}$ spełniającym równanie ${\displaystyle f(x,y)=0}$ jest punkt ${\displaystyle y=\varphi (x).}$

Założenie zupełności przestrzeni unormowanych jest niezbędne, gdyż dowód twierdzenia o funkcji uwikłanej opiera się o twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie.

Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji uwikłanej

Niech ${\displaystyle X,Y}$ będą przestrzeniami Banacha, ${\displaystyle D\subseteq X\times Y}$ będzie zbiorem otwartym oraz ${\displaystyle f\colon D\to Y}$ funkcją klasy ${\displaystyle C_{1}}$ taką, że różniczka cząstkowa ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\in \operatorname {Isom} (Y;Y)}$ dla każdego ${\displaystyle (x,y)\in D.}$ Dalej niech dana będzie funkcja ciągła ${\displaystyle \psi \colon U\to Y,}$ gdzie ${\displaystyle U}$ jest podzbiorem otwartym przestrzeni ${\displaystyle X.}$ Jeżeli dla każdego ${\displaystyle x\in U}$

${\displaystyle (x,\psi (x))\in D}$ oraz ${\displaystyle f(x,\psi (x))=0,}$

to ${\displaystyle \psi }$ jest funkcją klasy ${\displaystyle C_{1}}$ i dla każdego ${\displaystyle x\in U}$ różniczka:

${\displaystyle d\psi (x)=-\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\psi (x))\right)^{-1}\circ {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\psi (x)).}$

Funkcje rzeczywiste

Niech ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ jest klasy ${\displaystyle C_{1}}$ i dla pewnego punktu ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D}$ spełnia warunki:

${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}$ oraz ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0,}$

to w pewnym otoczeniu punktu ${\displaystyle x_{0}}$ istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła ${\displaystyle y=\varphi (x),}$ spełniająca warunki ${\displaystyle y_{0}=\varphi (x_{0})}$ oraz ${\displaystyle f(x,\varphi (x))=0}$ dla ${\displaystyle x}$ z tego otoczenia.

Ponadto jeśli w otoczeniu punktu ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ istnieje ciągła pochodna cząstkowa ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}},}$ to funkcja uwikłana ${\displaystyle y=\varphi (x)}$ ma ciągłą pochodną daną wzorem

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}}.}$

Inne twierdzenia

Czasem przez twierdzenie o funkcji uwikłanej rozumie się następujące twierdzenie:

Niech ${\displaystyle X,Y,Z}$ będą przestrzeniami Banacha, ${\displaystyle U\subseteq X,V\subseteq Y}$ będą otoczeniami zera (odpowiedniej przestrzeni). Jeśli ${\displaystyle \varphi \colon U\to V,\psi \colon V\to Z}$ są funkcjami klasy ${\displaystyle C_{1}}$ takimi, że

1. ${\displaystyle \varphi (0)=0,\psi (0)=0,}$
2. ${\displaystyle \psi \circ \varphi \equiv 0,}$
3. ${\displaystyle \operatorname {im} \;d\varphi (0)=\ker \;d\psi (0)}$
4. ${\displaystyle \operatorname {im} \;d\psi (0)}$ jest zbiorem domkniętym

wówczas istnieje takie otoczenie zera ${\displaystyle W\subseteq V,}$ że

${\displaystyle \psi ^{-1}(0)\cap W=\varphi (U)\cap W.}$

Przypisy

Bibliografia

• Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
• Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach 2. Warszawa: PWN, 2005.
• Jinpeng An, Karl-Herman Neeb: An implicit function theorem for Banach spaces and some applications. Math. Z., 262 (2009), no. 3, s. 627–643.

Linki zewnętrzne

• Prezentacja na temat funkcji uwikłanych, wraz z przykładem wykorzystania ich w ekonomii. gwsp.gliwice.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2007-04-01)].