Funkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza – funkcja postaci:

${\displaystyle f(x)=a^{x},\ {}}$ gdzie ${\displaystyle a>0.}$

Niektórzy autorzy^[1] wymagają, aby podstawa ${\displaystyle a}$ funkcji wykładniczej była różna od 1, ponieważ dla ${\displaystyle a=1}$ funkcja ${\displaystyle a^{x}}$ jest funkcją stałą.

Własności

• ${\displaystyle a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y},}$
• ${\displaystyle a^{x-y}={\frac {a^{x}}{a^{y}}}.}$

• Dla ${\displaystyle a>1}$ funkcja wykładnicza o podstawie ${\displaystyle a}$ jest rosnąca, dla ${\displaystyle 0<a<1}$ malejąca. Jeśli ${\displaystyle a=1}$ to funkcja ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$ jest stała.

• Pochodna funkcji wykładniczej to:

${\displaystyle (a^{x})'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x+\Delta x}-a^{x}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}a^{x}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=a^{x}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=a^{x}\ln a.}$

(patrz dowód w logarytm naturalny)

Czyli w szczególności dla ${\displaystyle a=e}$ mamy

${\displaystyle (e^{x})'=e^{x}.}$

• Funkcja wykładnicza o podstawie ${\displaystyle a>1}$ jest (przy argumencie dążącym do ${\displaystyle +\infty }$) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.

Funkcja eksponencjalna

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej ${\displaystyle e}$ (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Innym oznaczeniem takiej funkcji jest ${\displaystyle \exp(x)}$ (nazywane skrótowo eksponentą).

Cechą funkcji ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego

${\displaystyle {\dot {x}}=x}$

przy warunku początkowym

${\displaystyle x(0)=1}$

daje wzór na funkcję eksponencjalną:

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

Wykres funkcji ${\displaystyle y=e^{x}{:}}$

Płaszczyzna zespolona

Wykres ${\displaystyle e^{z}}$ na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny

Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Taylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego:

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Jest to funkcja okresowa z okresem ${\displaystyle 2\pi i}$ i można ją zapisać jako:

${\displaystyle e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b),}$

gdzie ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.

Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności

• ${\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w},}$
• ${\displaystyle e^{0}=1,}$
• ${\displaystyle e^{z}\neq 0,}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}e^{z}=e^{z},}$
• ${\displaystyle (e^{z})^{n}=e^{nz},\ n\in \mathbb {Z} }$

dla wszystkich ${\displaystyle z}$ i ${\displaystyle w.}$

Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.

Przykłady i zastosowania

Matematyka

• Notacja wykładnicza do zapisywania dużych liczb. Nazwy dużych liczb (większych niż miliard) są niewygodne w użyciu i różnią się między krajami, prowadząc do potencjalnych nieporozumień.
• Funkcja wykładnicza razem z odpowiednim logarytmem pozwala sprowadzać mnożenie i dzielenie do dodawania i odejmowania. To miało znaczenie w czasach tablic i suwaków logarytmicznych, używanych przed rozpowszechnieniem się kalkulatorów.
• Ciąg geometryczny oraz suma szeregu geometrycznego, por. procent składany.
• Ciąg Fibonacciego jest opisany wzorem Bineta zawierającym funkcję wykładniczą. Podobnie jest z każdym ciągiem rekurencyjnym.
• Kombinatoryka: liczba wariacji z powtórzeniami jest wykładniczą funkcją długości ciągu. Przykładowo liczba możliwych haseł jest wykładniczą funkcją jego długości.
• Rozkład normalny jest opisany przez złożenie funkcji wykładniczej z kwadratową.
• Rozkład Poissona zawiera funkcję wykładniczą.
• Rozkład dwumianowy także zawiera tę funkcję, gdzie podstawą jest prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu.
• Funkcje hiperboliczne są zdefiniowane przez funkcję wykładniczą.
• Algorytmika: niektóre problemy mają złożoność wykładniczą.

Inne dziedziny

• Liczebność populacji w idealnych warunkach rośnie wykładniczo.
• Prawo Moore’a w elektronice i informatyce.
• Zależność prędkości od czasu w ruchu z oporem ośrodka jest opisana funkcją wykładniczą: zarówno przy liniowej zależności siły oporu od prędkości (prawo Stokesa), jak i przy zależności kwadratowej.
• Ładowanie i rozładowywanie kondensatora jest opisane wykładniczą funkcją czasu. Analogicznie jest z napięciem i natężeniem prądu w obwodzie prądu stałego z cewką.
• Tłumienie silne oraz krytyczne drgań sprawia, że zmiany są opisane funkcją wykładniczą.
• Rozkład Maxwella w fizyce statystycznej.
• Funkcja wykładnicza pojawia się w rozkładzie Plancka opisującym promieniowanie cieplne ciał.
• Odkryty przez Rutherforda czas połowicznego rozpadu pozwala modelować radioaktywność przez funkcję wykładniczą.

Zobacz też

• wzrost wykładniczy

Przypisy