Funkcja wymierna

Funkcja wymierna – funkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych^[1]. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do funkcji wielomianowych jak liczby wymierne do liczb całkowitych.

Definicja

Jeśli

${\displaystyle g(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},}$

${\displaystyle h(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\dots +b_{1}x+b_{0}}$

są funkcjami wielomianowymi o współczynnikach z dowolnego ciała ${\displaystyle K,}$ przy czym ${\displaystyle h(x)\not \equiv 0}$ (tj. nie wszystkie ${\displaystyle b_{i}}$ są zerami), to funkcję

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}},}$

nazywa się funkcją wymierną^[a].

Dziedziną funkcji ${\displaystyle f(x)}$ jest dziedzina funkcji ${\displaystyle g(x)}$ z wyłączeniem miejsc zerowych funkcji ${\displaystyle h(x).}$

Przykłady i zastosowania

• Funkcja ${\displaystyle f(x)={\tfrac {2(1+3x)}{3(1-x)^{2}}}}$ jest wymierna.
• Wyrażenie ${\displaystyle (1+x)^{y}}$ nie jest wymierne, stąd funkcja je realizująca również nie jest wymierna.
• Dowolny wielomian (funkcja wielomianowa) jest wyrażeniem wymiernym (funkcją wymierną).
• Jeśli ${\displaystyle g}$ jest dowolnym wielomianem, a ${\displaystyle h}$ jest wielomianem stałym (jest zerowego stopnia), to wyrażenie wymierne ${\displaystyle f={\tfrac {g}{h}}}$ również jest wielomianem. Zdanie to jest również prawdziwe dla funkcji wielomianowych i wymiernych reprezentujących wielomiany i wyrażenia wymierne.
• Funkcja ${\displaystyle f(x)={\tfrac {ax+b}{cx+d}}}$ jest wymierna. Jeżeli ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ to nazywa się ją funkcją homograficzną (dla ${\displaystyle c=0}$ jest to funkcja liniowa).

• Pochodną funkcji arcus tangens jest funkcja wymierna, która może być użyta np. do przybliżania tej pierwszej.
• Rozkład Cauchy’ego w probabilistyce i statystyce,
• W optyce współczynnik załamania (gęstość optyczna) w ośrodkach dyspersyjnych jest często wymierną funkcją długości fali.

Własności

• Zbiór funkcji wymiernych z dodawaniem i mnożeniem jest ciałem. Działania na funkcjach wymiernych wykonuje się podobnie do działań na zwykłych ułamkach. Dokładniej, jeśli ${\displaystyle P}$ jest pierścieniem całkowitym oraz ${\displaystyle P[x]}$ jego pierścieniem wielomianów, to ${\displaystyle K}$ jest ciałem ułamków pierścienia ${\displaystyle P[x].}$
• Zbiór funkcji wymiernych jest K-algebrą.
• Złożenie funkcji wymiernych jest funkcją wymierną.
• Dowolna funkcja wymierna (nad ciałem liczb zespolonych) jest funkcją meromorficzną

Zobacz też

• całkowanie funkcji wymiernych
• funkcja niewymierna

Uwagi

Przypisy