Funkcje cyklometryczne

Funkcje cyklometryczne, funkcje kołowe, arkfunkcje^[1] – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów^[2].

Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne. Tak więc:

• arcus sinus (arcsin) jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale ${\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right].}$ W przedziale tym sinus jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale ${\displaystyle \left[-1;1\right]}$ (czyli obrazie przedziału ${\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]}$ przez funkcję ${\displaystyle \sin }$).
• arcus cosinus (arccos) jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale ${\displaystyle \left[0,\pi \right].}$ W przedziale tym cosinus jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale ${\displaystyle \left[-1;1\right]}$ (czyli obrazie przedziału ${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$ przez funkcję ${\displaystyle \cos }$).
• arcus tangens (arctg) jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale ${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right).}$ W przedziale tym tangens jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (czyli obrazie przedziału ${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$ przez funkcję ${\displaystyle \operatorname {tg} }$).
• arcus cotangens (arcctg) jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale ${\displaystyle \left(0,\pi \right).}$ W przedziale tym cotangens jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (czyli obrazie przedziału ${\displaystyle \left(0,\pi \right)}$ przez funkcję ${\displaystyle \operatorname {ctg} }$).
• arcus secans (arcsec) jest funkcją odwrotną do funkcji secans rozpatrywanej na przedziale ${\displaystyle \left[0,\pi \right].}$ W przedziale tym secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): ${\displaystyle \left[0,{\tfrac {\pi }{2}}\right),}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {\pi }{2}},\pi \right],}$ wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale ${\displaystyle \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right)}$ (czyli obrazie przedziału ${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$ przez funkcję ${\displaystyle \sec }$).
• arcus cosecans (arccsc) jest funkcją odwrotną do funkcji cosecans rozpatrywanej na przedziale ${\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right].}$ W przedziale tym cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): ${\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},0\right),}$ ${\displaystyle \left(0,{\tfrac {\pi }{2}}\right],}$ wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale ${\displaystyle \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right)}$ (czyli obrazie przedziału ${\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]}$ przez funkcję ${\displaystyle \operatorname {cosec} }$).

Zgodnie z określeniem funkcji odwrotnej:

• ${\displaystyle \arcsin \ x=y\qquad {}}$ gdy ${\displaystyle {}\quad \sin \ y=x}$
• ${\displaystyle \arccos \ x=y\qquad {}}$ gdy ${\displaystyle {}\quad \cos \ y=x}$
• ${\displaystyle \operatorname {arctg} \ x=y\qquad \;\,{}}$ gdy ${\displaystyle {}\quad \operatorname {tg} \ y=x}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} \ x=y\qquad {}}$ gdy ${\displaystyle {}\quad \operatorname {ctg} \ y=x}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcsec} \ x=y\qquad {}}$ gdy ${\displaystyle {}\quad \sec \ y=x}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccosec} \ x=y\quad {}}$ gdy ${\displaystyle {}\quad \operatorname {cosec} \ y=x}$

Jak w przypadku funkcji trygonometrycznych nawiasów wokół argumentów możemy nie stawiać, chyba że prowadziłoby to do niejednoznaczności.

Własności funkcji wynikają natychmiast z twierdzeń o funkcjach odwrotnych. Wszystkie z nich są ciągłe i różniczkowalne.

• arcus sinus jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest ${\displaystyle \left[-1,1\right],}$ a przeciwdziedziną ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].}$
• arcus cosinus jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest ${\displaystyle \left[-1,1\right],}$ a przeciwdziedziną ${\displaystyle \left[0,\pi \right].}$
• arcus tangens jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ a przeciwdziedziną ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right).}$
• arcus cotangens jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ a przeciwdziedziną ${\displaystyle \left(0,\pi \right).}$
• arcus secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów: ${\displaystyle \left(-\infty ,-1\right],}$ ${\displaystyle \left[1,+\infty \right).}$ Jej dziedziną jest ${\displaystyle \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right),}$ a przeciwdziedziną ${\displaystyle \left[0,\pi \right]\setminus \{{\frac {\pi }{2}}\}.}$
• arcus cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów: ${\displaystyle \left(-\infty ,-1\right],}$ ${\displaystyle \left[1,+\infty \right).}$ Jej dziedziną jest ${\displaystyle \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right),}$ a przeciwdziedziną ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}.}$

Zależności między funkcjami cyklometrycznymi

${\displaystyle \arcsin \ x+\arccos \ x={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{dla }}\ x\in [-1;1]}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} \ x+\operatorname {arcctg} \ x={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{dla }}\ x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {arcsec} \ x+\operatorname {arccosec} \ x={\frac {\pi }{2}}}$

Argumenty ujemne

${\displaystyle \arcsin \ (-x)=-\arcsin \ x}$

${\displaystyle \arccos \ (-x)=\pi -\arccos \ x}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} \ (-x)=-\operatorname {arctg} \ x}$

${\displaystyle \operatorname {arcctg} \ (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} \ x}$

${\displaystyle \operatorname {arcsec} \ (-x)=\pi -\operatorname {arcsec} \ x}$

${\displaystyle \operatorname {arccosec} \ (-x)=-\operatorname {arccosec} \ x}$

Odwrotności argumentów

${\displaystyle \arcsin \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccosec} \ x}$

${\displaystyle \arccos \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcsec} \ x}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcctg} \ x\ ;\ x>0}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcctg} \ x-\pi \ ;\ x<0}$

${\displaystyle \operatorname {arcctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arctg} \ x\ ;\ x>0}$

${\displaystyle \operatorname {arcctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arctg} \ x+\pi \ ;\ x<0}$

${\displaystyle \operatorname {arcsec} \ {\frac {1}{x}}=\arccos \ x}$

${\displaystyle \operatorname {arccosec} \ {\frac {1}{x}}=\arcsin \ x}$

Pochodne i całki

Pochodne

• ${\displaystyle \arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
• ${\displaystyle \arccos 'x={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arctg} 'x={\frac {1}{x^{2}+1}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} 'x={\frac {-1}{x^{2}+1}}}$

Całki

• ${\displaystyle \int \arcsin xdx={\sqrt {1-x^{2}}}+x\arcsin x+C}$
• ${\displaystyle \int \arccos xdx=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arctg} xdx=x\operatorname {arctg} x-{\frac {1}{2}}\ln {(1+x^{2})}+C}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arcctg} xdx=x\operatorname {arcctg} x+{\frac {1}{2}}\ln {(1+x^{2})}+C}$

Przykłady

• ${\displaystyle \arcsin \;0=0}$
• ${\displaystyle \arcsin \;{\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{6}}}$
• ${\displaystyle \arcsin \;1={\frac {\pi }{2}}}$
• ${\displaystyle \arccos \;0={\frac {\pi }{2}}}$
• ${\displaystyle \arccos \;{\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{3}}}$
• ${\displaystyle \arccos \;(-1)=\pi }$
• ${\displaystyle \operatorname {arctg} \;0=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {arctg} \;1={\frac {\pi }{4}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} \;0={\frac {\pi }{2}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} \;1={\frac {\pi }{4}}}$

Oto wykresy kolejnych funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych, które parami są symetryczne względem prostej ${\displaystyle y=x{:}}$

• 

  Funkcje: ${\displaystyle y=\sin(x),}$
  ${\displaystyle y=\arcsin(x)}$

• 

  Funkcje:${\displaystyle y=\cos(x),}$
  ${\displaystyle y=\arccos(x)}$

• 

  (c) WojciechSwiderski, CC-BY-SA-3.0

  Funkcje:${\displaystyle y=\operatorname {tg} (x),}$
  ${\displaystyle y=\operatorname {arctg} (x)}$

• 

  Funkcje:${\displaystyle y=\operatorname {ctg} (x),}$
  ${\displaystyle y=\operatorname {arcctg} (x)}$

Przypisy