Funkcje eliptyczne

Funkcje eliptyczne – funkcje określone na zbiorze liczb zespolonych, które są dwuokresowe, tj. periodyczne wzdłuż dwóch kierunków (np. zarówno względem osi liczb urojonych, jak i osi liczb rzeczywistych). Funkcje eliptyczne na płaszczyźnie zespolonej są analogią funkcji trygonometrycznych na osi liczb rzeczywistych. Nazwa funkcje eliptyczne pochodzi stąd, iż po raz pierwszy pojawiły się one jako funkcje odwrotne do całek eliptycznych, które z kolei nazwę swą wzięły stąd, iż były badane w związku z problemem obliczania długości łuku elipsy.

Funkcja eliptyczna jest to funkcja meromorficzna ${\displaystyle f}$ określona na zbiorze liczb zespolonych ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ dla której istnieją dwie niezerowe liczby zespolone ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ spełniające równanie:

${\displaystyle f(z+a)=f(z+b)=f(z)}$ dla wszystkich ${\displaystyle z}$ w zbiorze ${\displaystyle \mathbb {C} }$

oraz takie, aby stosunek ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ nie był liczbą rzeczywistą. Wtedy:

${\displaystyle f(z+ma+nb)=f(z)}$ dla wszystkich ${\displaystyle z}$ w zbiorze ${\displaystyle \mathbb {C} }$ oraz ${\displaystyle m}$ i ${\displaystyle n}$ będących liczbami naturalnymi.

Rozwój teorii funkcji eliptycznych opiera się na ${\displaystyle \wp }$-funkcji wprowadzonej przez Karla Weierstrassa. Każda funkcja eliptyczna może być przedstawiona za pomocą ${\displaystyle \wp }$-funkcji. Definicja funkcji eliptycznych, wprowadzona przez Carla Jacobiego przy użyciu funkcji theta (niedwuokresowej), jest bardziej złożona, lecz również stosowana.

Własności

Każda liczba zespolona ${\displaystyle \omega }$ taka, że ${\displaystyle f(z+\omega )=f(z)}$ dla wszystkich ${\displaystyle z}$ w zbiorze ${\displaystyle \mathbb {C} }$ jest nazywana okresem funkcji ${\displaystyle f.}$

Jeśli funkcja eliptyczna posiada dwa okresy ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ takie, że każdy inny okres ${\displaystyle \omega }$ może być zapisany jako ${\displaystyle \omega =ma+nb,}$ gdzie ${\displaystyle m}$ i ${\displaystyle n}$ to liczby całkowite, to ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ nazywane są okresami pierwotnymi funkcji eliptycznej.

Każda funkcja eliptyczna posiada parę okresów pierwotnych, lecz nie są to pary unikalne. Jeśli ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są okresami pierwotnymi opisującymi kratę, to ta sama krata może być opisana przez parę okresów pierwotnych ${\displaystyle a'=pa+qb}$ i ${\displaystyle b'=ra+qb,}$ gdzie ${\displaystyle p,q,r}$ i ${\displaystyle s}$ są liczbami całokowitymi oraz spełniają równanie ${\displaystyle ps-qr=1.}$ Innymi słowy, jeśli ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są okresami pierwotnymi, to ${\displaystyle a'}$ i ${\displaystyle b'}$ również nimi są.

Jeśli ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są okresami pierwotnymi, to każdy równoległobok o wierzchołkach ${\displaystyle z,z+a,z+b,z+a+b}$ jest nazywany równoległobokiem pierwotnym. Zwielokrotnianie tych równoległoboków przez kolejne mnożenia ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ przez liczby całkowite daje kolejne równoległoboki pierwotne, w których funkcja ${\displaystyle f}$ posiada te same własności (okresowość).

Pochodna funkcji eliptycznej jest również funkcją eliptyczną posiadającą ten sam okres.

Zobacz też

• funkcje eliptyczne Jacobiego
• funkcje eliptyczne Weierstrassa