Funkcje eliptyczne Jacobiego

Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem Funkcje amplitudy. Nie opisano powodu propozycji integracji.

Funkcje eliptyczne Jacobiego – funkcje eliptyczne (dwuokresowe funkcje meromorficzne) zdefiniowane przez Carla Jacobiego, wykazujące pewne podobieństwo do funkcji trygonometrycznych.

Definicja

Funkcje ${\displaystyle \operatorname {sn} (x,k^{2}),}$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (x,k^{2})}$ i ${\displaystyle \operatorname {dn} (x,k^{2})}$ można zdefiniować jako funkcje analityczne w otoczeniu zera spełniające warunki:

• ${\displaystyle \operatorname {sn} (F(x,k^{2}),k^{2})=\sin x;\operatorname {sn} (0,k^{2})=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {cn} (F(x,k^{2}),k^{2})=\cos x;\operatorname {cn} (0,k^{2})=1}$
• ${\displaystyle \operatorname {dn} (F(x,k^{2}),k^{2})={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}x}};\operatorname {dn} (0,k^{2})=1}$

gdzie ${\displaystyle F}$ to niezupełna całka eliptyczna pierwszego rodzaju.

Glaisher wprowadził też następujące oznaczenia:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ns} (u)&={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {nc} (u)&={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {nd} (u)&={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {sc} (u)&={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {sd} (u)&={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {dc} (u)&={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {ds} (u)&={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {cs} (u)&={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {cd} (u)&={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}\end{aligned}}}$

Własności

Dla ${\displaystyle K'=K(1-k^{2})}$ i ${\displaystyle K=K(1-k^{2})}$ (${\displaystyle K}$ to zupełna całka eliptyczna pierwszego rodzaju) można zapisać okresy funkcji:

• ${\displaystyle \operatorname {sn} (x,k^{2})}$ jako ${\displaystyle 4K}$ oraz ${\displaystyle 2iK'}$
• ${\displaystyle \operatorname {cn} (x,k^{2})}$ jako ${\displaystyle 4K}$ oraz ${\displaystyle 2K+2iK'}$
• ${\displaystyle \operatorname {dn} (x,k^{2})}$ jako ${\displaystyle 2K}$ oraz ${\displaystyle 4iK'}$

Funkcje Jacobiego przyjmują wartości rzeczywiste dla ${\displaystyle 0<k^{2}<1,}$ a dla ${\displaystyle k^{2}=0}$ i ${\displaystyle k^{2}=1}$ redukują się do następujących funkcji:

• ${\displaystyle \operatorname {sn} (x,0)=\sin x}$
• ${\displaystyle \operatorname {cn} (x,0)=\cos x}$
• ${\displaystyle \operatorname {dn} (x,0)=1}$
• ${\displaystyle \operatorname {sn} (x,1)=\operatorname {tgh} x}$
• ${\displaystyle \operatorname {cn} (x,1)=\operatorname {sech} x}$
• ${\displaystyle \operatorname {dn} (x,1)=\operatorname {sech} x}$

Funkcje te spełniają też następujące zależności:

• ${\displaystyle s^{2}+c^{2}=1}$ (por. jedynka trygonometryczna)
• ${\displaystyle k^{2}s^{2}+d^{2}=1}$

gdzie ${\displaystyle s=\operatorname {sn} (x,k^{2}),}$ ${\displaystyle c=\operatorname {cn} (x,k^{2})}$ i ${\displaystyle d=\operatorname {dn} (x,k^{2}).}$

Ich pochodne dane są przez:

• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {sn} (x,k^{2})=cd}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {cn} (x,k^{2})=-sd}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {dn} (x,k^{2})=-k^{2}sc}$

Bibliografia

• XIII. Elliptic functions and integrals. W: Harry Bateman: Higher transcendental functions. T. II. 1953, s. 294–383.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Jacobi Elliptic Functions, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).