Funkcje hiperboliczne

Funkcje hiperbolicznefunkcje zmiennej rzeczywistej lub zespolonej będących sumą, różnicą lub ilorazem funkcji wykładniczych określone następująco[1]:

  • sinus hiperboliczny: (oznaczany również ),
  • cosinus hiperboliczny: (oznaczany również ),
  • tangens hiperboliczny: (oznaczany również lub ),
  • cotangens hiperboliczny: (oznaczany również lub ),
  • secans hiperboliczny:
  • cosecans hiperboliczny:

Hiperbola z funkcji cosh(t) i sinh(t).png

Funkcje te mają interesujące własności matematyczne analogiczne do własności funkcji trygonometrycznych. Nazwę swoją zawdzięczają temu, że para liczb (cosh(t),sinh(t)) tworzy wykres hiperboli (jej prawej, dodatniej części). Zostały wprowadzone do nauki przez włoskiego matematyka Vincenzo Riccatiego, który publikował swoje rozważania w Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium, wydawanym między 1757 a 1762 rokiem[2]. Nadał im on nazwy sinus i cosinus hiperbolico i zastosował skróty Sh i Ch, stosowane do dziś w Rosji i we Francji. Upowszechnił je szwajcarski matematyk Johann Heinrich Lambert, pokazując ich zastosowanie w trygonometrii w dziele Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques (1762). Lambert zostawił im nazwy zaproponowane przez Riccatiego, ale nadał im skróty sinh i cosh stosowane do dnia dzisiejszego[3].

Związki trygonometryczne

Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych postaci jest okręgiem (jednostkowym), analogicznie zbiór punktów o współrzędnych postaci wyznacza hiperbolę.

Prawdziwe są również wzory:

Ponadto korzystając ze wzoru Eulera

można przedstawić związek funkcji hiperbolicznych z trygonometrycznymi, wyrażony w liczbach zespolonych:

skąd:

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe wzdłuż osi liczb rzeczywistych, to funkcje hiperboliczne są okresowe wzdłuż osi liczb urojonych z okresem (sinh, cosh, sech, csech), albo (tgh, ctgh).

Własności

Jeśli oznacza złotą proporcję, to:

Zależności hiperboliczne

Odpowiednikiem „jedynki trygonometrycznej

jest tzw. „jedynka hiperboliczna”:

Z każdej tożsamości trygonometrycznej można otrzymać tożsamość hiperboliczną przez użycie związku pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi.

Pochodne i całki

Rozwinięcia

Szeregi potęgowe
Iloczyny nieskończone

Funkcje odwrotne

Funkcje hiperboliczne mają funkcje odwrotne zwane funkcjami polowymi (lub area). Są one wyrażone przez logarytmy. Funkcją odwrotną do sinh jest area sinus hiperboliczny, do cosh area cosinus hiperboliczny itd.

Wykresy

Oto wykres funkcji sinh:

Hyperbolic Sine.svg

Wykres funkcji cosh ma kształt krzywej łańcuchowej:

Cosh.svg

Wykresy funkcji sinus, cosinus i tangens hiperboliczny

Wykresy funkcji cotangens, secans i cosecans hiperboliczny

Zobacz też

  • złota funkcja

Przypisy

  1. funkcje hiperboliczne, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-02].
  2. Robert E. Bradley, Lawrence A. D’Antonio, Charles Edward Sandifer, Euler at 300: an appreciation, Mathematical Association of America, 2007, s. 100.
  3. Georg F. Becker, Hyperbolic functions, Read Books, 1931, s. xlviii.

Linki zewnętrzne

Media użyte na tej stronie

Hiperbola z funkcji cosh(t) i sinh(t).png
Autor: Milkauw, Licencja: CC BY-SA 4.0
To Polish Wikipedia about hiperbolic functions
Hyperbolic Sine.svg
Autor: Geek3, Licencja: CC BY-SA 3.0
Hyperbolic Sine function plot

sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2

Plotted with cubic bezier-curves. The bezier-controll-points are calculated to give a very accurate result. Asymptotes are included but commented out.

Symbols are embeded in "Computer Modern" (TeX) font.
Cosh.svg
cosh(x)
Csch sech coth.png
Autor: Cyp uploaded by Ckeen, Licencja: CC-BY-SA-3.0
Hyperbolic cosecant, secant and cotangent.
Sinh cosh tanh.png
Autor: Cyp uploaded by Ckeen, Licencja: CC-BY-SA-3.0
Hyperbolic sine (red line), cosine (green line) and tangent (blue line)