Funkcje parzyste i nieparzyste

Funkcje parzyste i nieparzyste – funkcje cechujące się pewną symetrią przy zmianie znaku argumentu. Prowadzi to również do symetrii ich wykresów. Funkcja ${\displaystyle f}$ jest:

• parzysta, jeżeli spełnia równanie ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$ (symetria względem zmiany znaku argumentu)^[1];
• nieparzysta, jeżeli spełnia równanie ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ (symetria względem jednoczesnej zmiany znaku argumentu i wartości funkcji)^[2].

Równania te muszą być prawdziwe dla wszystkich ${\displaystyle x}$ należących do dziedziny funkcji ${\displaystyle f.}$ Powyższe równości wymagają, aby wraz z ${\displaystyle x}$ do dziedziny należał również punkt ${\displaystyle -x,}$ stąd dziedziny funkcji parzystych i nieparzystych muszą być symetryczne względem zera.

Przykłady

Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. niestała funkcja wykładnicza, a jedynymi funkcjami będącymi jednocześnie parzystymi i nieparzystymi są funkcje stałe równe zeru w każdym punkcie swojej dziedziny.

Funkcje parzyste

• wartość bezwzględna ${\displaystyle f(x)=|x|,}$
• funkcja potęgowa o parzystym wykładniku, ${\displaystyle f(x)=x^{2k},}$ gdzie ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$
• funkcja trygonometryczna ${\displaystyle f(x)=\cos x,}$
• funkcja hiperboliczna ${\displaystyle f(x)=\cosh x,}$
• wielomiany zawierające niezerowe współczynniki tylko przy parzystych potęgach zmiennej (np. ${\displaystyle f(x)=x^{10}+2x^{6}-x^{2}+4}$),
• funkcja sinc,
• funkcja Dirichleta,
• funkcja Weierstrassa,
• funkcje prostokątna i trójkątna.

Funkcje nieparzyste

• funkcja liniowa ${\displaystyle f(x)=ax}$ (proporcjonalność prosta),
• funkcja potęgowa o nieparzystym wykładniku: ${\displaystyle f(x)=x^{2k+1},k\in \mathbb {N} ,}$
• funkcje trygonometryczne ${\displaystyle f(x)=\sin x,}$ ${\displaystyle f(x)=\operatorname {tg} x}$   i   ${\displaystyle f(x)=\operatorname {ctg} x,}$
• funkcje hiperboliczne ${\displaystyle f(x)=\sinh x,}$ ${\displaystyle f(x)=\operatorname {tgh} \,\!x}$   i   ${\displaystyle f(x)=\operatorname {ctgh} x,}$
• wielomiany o niezerowych współczynnikach tylko przy nieparzystych potęgach zmiennej (np. ${\displaystyle f(x)=x^{7}+6x^{5}-10x^{3}+{\sqrt {3\pi }}x}$),
• funkcja signum,
• funkcja błędu Gaussa,
• funkcja Gudermanna,
• całka Fresnela.

Własności

• Funkcje parzyste (poza szczególnymi przypadkami funkcji pustej oraz funkcji określonej jedynie w zerze) nigdy nie są różnowartościowe.
• Oba zbiory funkcji parzystych i funkcji nieparzystych ze standardowymi działaniami dodawania i mnożenia przez liczbę stanowią przestrzenie liniowe.
• Każdą funkcję ${\displaystyle f,}$ dla której takie stwierdzenie ma sens, można przedstawić jako sumę funkcji parzystej ${\displaystyle g}$ i nieparzystej ${\displaystyle h,}$ gdzie dla każdego ${\displaystyle x}$ z dziedziny

  ${\displaystyle g(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}}$ oraz ${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}.}$

• Przykładami powyższego rozkładu są ${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x}$ oraz ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$
• Niech ${\displaystyle f_{1},\,f_{2}}$ będą funkcjami parzystymi, a ${\displaystyle g_{1},\,g_{2}}$ funkcjami nieparzystymi. Wtedy:
  • ${\displaystyle f_{1}\cdot f_{2},\ g_{1}\cdot g_{2}}$ oraz ${\displaystyle f_{1}/f_{2},\ g_{1}/g_{2}}$ (tam, gdzie określone) są funkcjami parzystymi,
  • ${\displaystyle f_{1}\cdot g_{1}}$ oraz ${\displaystyle f_{1}/g_{1}}$ (tam, gdzie jest określona) są funkcjami nieparzystymi,
  • ${\displaystyle f_{1}\circ f_{2},\ f_{1}\circ g_{1},\ g_{1}\circ f_{1}}$ jest funkcją parzystą (${\displaystyle \circ }$ jest tu złożeniem funkcji),
  • ${\displaystyle g_{1}\circ g_{2}}$ jest funkcją nieparzystą.

Wykresy

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi ${\displaystyle OY,}$ a nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Jeśli ${\displaystyle 0}$ należy do dziedziny nieparzystej funkcji ${\displaystyle f,}$ to ${\displaystyle f(0)=0}$ (wykres funkcji przechodzi przez początek układu współrzędnych).

Rozszerzenie na inne algebry

Zwykle pojęcia te stosuje się, gdy dziedziną funkcji jest podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, czy w ogólności ciał. Definicje mają jednak sens także dla innych pierścieni, a nawet bardziej ogólnych grup.

Przypisy