Funkcjonał Minkowskiego

Funkcjonał Minkowskiego – podaddytywny i dodatnio jednorodny funkcjonał związany z pochłaniającymi i wypukłymi podzbiorami przestrzeni liniowej.

Definicja

Podzbiór ${\displaystyle A}$ przestrzeni liniowej ${\displaystyle X}$ nazywa się pochłaniającym, gdy dla każdego elementu ${\displaystyle x}$ przestrzeni ${\displaystyle X}$ istnieje taka liczba dodatnia ${\displaystyle \alpha ,}$ że ${\displaystyle x\in \alpha A.}$ Zbiory pochłaniające i wypukłe nazywa się zbiorami Minkowskiego. Jeżeli ${\displaystyle A}$ jest zbiorem Minkowskiego, to funkcjonał

${\displaystyle \mu _{A}\colon X\to [0,\infty )}$

określony wzorem

${\displaystyle \mu _{A}(x)=\inf\{\alpha \in (0,\infty )\colon \;x\in \alpha A\},}$

nazywa się funkcjonałem Minkowskiego zbioru ${\displaystyle A.}$

Własności

Niech ${\displaystyle A\subseteq X}$ będzie zbiorem Minkowskiego. Wówczas

• ${\displaystyle \mu _{A}(x+y)\leqslant \mu _{A}(x)+\mu _{A}(y)\;{}}$ dla ${\displaystyle {}\;x,y\in X,}$
• ${\displaystyle \mu _{A}(\alpha x)=\alpha \mu _{A}(x)\;{}}$ dla ${\displaystyle {}\;x\in X\;{}}$ oraz ${\displaystyle {}\;\alpha \in [0,\infty ),}$
• ${\displaystyle x\in \alpha A\;{}}$ dla każdego ${\displaystyle {}\;x\in X\;{}}$ oraz ${\displaystyle \alpha >\mu _{A}(x),}$
• ${\displaystyle \{x\in X\colon \,\mu _{A}(x)<1\}\subseteq A\subseteq \{x\in X\colon \,\mu _{A}(x)\leqslant 1\}.}$ Ponadto, zbiory ${\displaystyle \{x\in X\colon \,\mu _{A}(x)<1\},\{x\in X\colon \,\mu _{A}(x)\leqslant 1\}}$ są zbiorami Minkowskiego i ${\displaystyle \mu _{A}}$ jest funkcjonałem Minkowskiego każdego z tych zbiorów.

Jeżeli, ponadto, ${\displaystyle A}$ jest zbiorem zbalansowanym, to ${\displaystyle \mu _{A}}$ jest półnormą w przestrzeni ${\displaystyle X.}$

Bibliografia

• Y. Eidelman, V. Milman, A. Tsolomitis, Functional Analysis: An Introduction, „American Mathematical Society”, 2004, s. 146–148.