Gra sprawiedliwa

Ten artykuł od 2011-04 wymaga zweryfikowania podanych informacji: przykład z kasynem: 1) przejrzystszy język 2) nie chodzi o prawdopodobieństwo wygranej, a o wartość oczekiwaną. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Gra sprawiedliwa – gra, w której wartość oczekiwana wypłat poszczególnych graczy jest ta sama.

Przykład:

Dwóch graczy A i B zakłada się o wynik rzutu (uczciwie wyważoną) monetą. Jeśli wypadnie orzeł – A otrzyma od B 2 złote. Jeśli reszka, przeciwnie, będzie musiał zapłacić 2 zł. Ponieważ prawdopodobieństwo każdego ze zdarzeń wynosi ½, a gracze wypłacają sobie takie same kwoty, to wartość oczekiwana wypłat zarówno dla gracza A, jak i dla B jest taka sama:

${\displaystyle X_{i}^{A}}$ – wypłata gracza A przy wyniku ${\displaystyle i}$-tym.

${\displaystyle X_{O}^{A}=2\qquad X_{R}^{A}=(-2)}$

${\displaystyle EX^{A}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{A}\cdot P(X_{i})=2\cdot {\tfrac {1}{2}}+(-2)\cdot {\tfrac {1}{2}}=0}$

Ponieważ jest to gra o sumie zerowej ${\displaystyle (X^{A}=-X^{B})}$ to ${\displaystyle EX^{A}=EX^{B}.}$

Stała suma gry, w szczególności suma zerowa, nie implikuje jej sprawiedliwości, ani na odwrót. Przykładowo, uznając za wypłatę sumę pieniężną, gra w kasynie jest grą o sumie zerowej (wygrana gracza to strata kasyna, i na odwrót; nie rozpatrujemy tu zadowolenia z samego faktu gry), jednakże nie jest ona grą sprawiedliwą (z przyczyn oczywistych prawdopodobieństwa wygranej są dla gracza niekorzystne, a wartość oczekiwana wygranej pieniężnej ujemna).