Graf pełny

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.

Najważniejsze pojęcia graf drzewo podgraf cykl klika stopień wierzchołka stopień grafu dopełnienie grafu obwód grafu pokrycie wierzchołkowe liczba chromatyczna indeks chromatyczny izomorfizm grafów homeomorfizm grafów więcej... Wybrane klasy grafów graf pełny graf spójny drzewo graf dwudzielny graf regularny graf eulerowski graf hamiltonowski graf planarny więcej... Algorytmy grafowe A* Bellmana-Forda Dijkstry Fleury'ego Floyda-Warshalla Johnsona Kruskala Prima przeszukiwanie grafu – wszerz – w głąb najbliższego sąsiada Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe problem komiwojażera problem chińskiego listonosza problem marszrutyzacji problem kojarzenia małżeństw Inne zagadnienia kod Graya diagram Hassego kod Prüfera

Graf pełny – graf prosty, nieskierowany, w którym dla każdej pary węzłów istnieje krawędź je łącząca.

Graf pełny o ${\displaystyle n}$ wierzchołkach oznacza się przez ${\displaystyle K_{n}}$^[1]. Niektóre źródła podają, że litera ${\displaystyle K}$ pochodzi od niemieckiego słowa komplett^[2], lecz niemiecki termin vollständiger Graph, oznaczający graf pełny, nie zawiera nawet tej litery. Inne źródła stwierdzają, że tę notację przyjęto w uznaniu zasług Kazimierza Kuratowskiego dla teorii grafów^[3].

Własności grafów pełnych

• Pełny graf o ${\displaystyle n}$ wierzchołkach posiada ${\displaystyle {\tfrac {n(n-1)}{2}}}$ (lub ${\displaystyle {\tbinom {n}{2}}}$) krawędzi (${\displaystyle n}$ boków i ${\displaystyle {\tfrac {n(n-3)}{2}}}$ przekątnych wielokąta).
• Pełny graf stopnia ${\displaystyle n}$ jest grafem regularnym stopnia ${\displaystyle n-1.}$
• Wszystkie grafy pełne są swoimi klikami.
• Żaden z grafów pełnych stopnia co najmniej ${\displaystyle 5}$ nie jest planarny (wynika z twierdzenia Kuratowskiego).

Przykłady

Poniżej przedstawione zostały pełne grafy o liczbie wierzchołków od ${\displaystyle 1}$ do ${\displaystyle 8{:}}$

• 

  ${\displaystyle K_{1}}$

• 

  ${\displaystyle K_{2}}$

• 

  ${\displaystyle K_{3}}$

• 

  ${\displaystyle K_{4}}$

• 

  ${\displaystyle K_{5}}$

• 

  ${\displaystyle K_{6}}$

• 

  ${\displaystyle K_{7}}$

• 

  ${\displaystyle K_{8}}$

Przypisy