Graf planarny

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.

Najważniejsze pojęcia graf drzewo podgraf cykl klika stopień wierzchołka stopień grafu dopełnienie grafu obwód grafu pokrycie wierzchołkowe liczba chromatyczna indeks chromatyczny izomorfizm grafów homeomorfizm grafów więcej... Wybrane klasy grafów graf pełny graf spójny drzewo graf dwudzielny graf regularny graf eulerowski graf hamiltonowski graf planarny więcej... Algorytmy grafowe A* Bellmana-Forda Dijkstry Fleury'ego Floyda-Warshalla Johnsona Kruskala Prima przeszukiwanie grafu – wszerz – w głąb najbliższego sąsiada Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe problem komiwojażera problem chińskiego listonosza problem marszrutyzacji problem kojarzenia małżeństw Inne zagadnienia kod Graya diagram Hassego kod Prüfera

Przykład grafu planarnego: graf Goldnera-Harary’ego(ang.)

Graf planarny – graf, który można narysować na płaszczyźnie (i każdej powierzchni genusu 0) tak, by krzywe obrazujące krawędzie grafu nie przecinały się ze sobą. Odwzorowanie grafu planarnego na płaszczyznę o tej własności nazywane jest jego rysunkiem płaskim. Graf planarny o zbiorze wierzchołków i krawędzi zdefiniowanym poprzez rysunek płaski nazywany jest grafem płaskim^[1].

Kryterium Kuratowskiego

Dwa minimalne grafy, które nie są planarne, to K₅ i K_3,3. Twierdzenie Kuratowskiego (1930) mówi, że graf skończony jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu homeomorficznego z grafem K₅ ani z grafem K_3,3.

Twierdzenie Eulera

Dowolny rysunek płaski grafu planarnego wyznacza spójne obszary płaszczyzny zwane ścianami. Dokładnie jeden z tych obszarów, zwany ścianą zewnętrzną, jest nieograniczony.

Zgodnie z wzorem Eulera, jeżeli ${\displaystyle |V|\geqslant 3}$ oraz ${\displaystyle G}$ jest grafem spójnym i planarnym, to ${\displaystyle |V|+|S|-|E|=2,}$ gdzie ${\displaystyle V}$ – zbiór wierzchołków, ${\displaystyle E}$ – zbiór krawędzi, ${\displaystyle S}$ – zbiór ścian dowolnego rysunku płaskiego grafu ${\displaystyle G.}$

Wnioski ze wzoru Eulera

• Jeżeli G jest planarny i posiada ${\displaystyle k}$ składowych spójnych, to ${\displaystyle |V|+|S|-|E|=k+1.}$
• Jeżeli G jest planarny i ${\displaystyle |V|\geqslant 3,}$ to ${\displaystyle |E|\leqslant 3\cdot |V|-6.}$
• Jeżeli G jest planarny, to wierzchołek o najmniejszym stopniu jest stopnia co najwyżej 5.

Zgodnie z twierdzeniem o czterech barwach, graf planarny daje się zawsze pokolorować przy użyciu co najwyżej czterech kolorów.

Zobacz też

• domki i studnie

Przypisy