Granica odwrotna

Granica odwrotna (granica projektywna) – jedno z fundamentalnych pojęć teorii kategorii, wykorzystywane w wielu dziedzinach matematyki, na przykład w topologii czy algebrze. Pojęcie granicy odwrotnej, w nieco innej niż podana niżej wersji, pochodzi od Pawła Aleksandrowa^[1]. Ogólna definicja pochodzi od Solomona Lefschetza^[2][3].

Definicja

Rodzinę ${\displaystyle S=\{X_{\sigma },\pi _{\varrho }^{\sigma },\Sigma \}}$ nazywamy systemem odwrotnym, gdy

• ${\displaystyle \Sigma }$ jest zbiorem skierowanym przez relację ${\displaystyle \leqslant ,}$
• dla każdego ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$ jest obiektem ustalonej kategorii ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$
• dla wszystkich ${\displaystyle \sigma ,\varrho \in \Sigma }$ o tej własności, że ${\displaystyle \sigma \leqslant \varrho }$ ${\displaystyle \pi _{\varrho }^{\sigma }}$ jest morfizmem ${\displaystyle X_{\sigma }\to X_{\varrho }}$ w kategorii ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$
• dla wszystkich ${\displaystyle \sigma ,\varrho ,\tau \in \Sigma ,}$ jeżeli ${\displaystyle \tau \leqslant \varrho \leqslant \sigma ,}$ to ${\displaystyle \pi _{\tau }^{\varrho }\pi _{\varrho }^{\sigma }=\pi _{\tau }^{\sigma }}$
• dla każdego ${\displaystyle \sigma \in \Sigma ,}$ ${\displaystyle \pi _{\sigma }^{\sigma }={\mbox{id}}_{X_{\sigma }}.}$

System odwrotny ${\displaystyle S=\{X_{\sigma },\pi _{\varrho }^{\sigma },\Sigma \},}$ w którym ${\displaystyle \Sigma }$ jest zbiorem liczb naturalnych ze zwykłym porządkiem, nazywamy ciągiem odwrotnym (pomijamy wówczas w zapisie zbiór ${\displaystyle \Sigma }$ pisząc po prostu ${\displaystyle S=\{X_{\sigma },\pi _{\varrho }^{\sigma }\}}$). Przekształcenia ${\displaystyle \pi _{\varrho }^{\sigma }}$ nazywa się przekształceniami skaczącymi systemu odwrotnego ${\displaystyle S.}$ Element

${\displaystyle (x_{\sigma })_{\sigma \in \Sigma }\in \prod _{\sigma \in \Sigma }X_{\sigma }}$

nazywa się nicią w systemie odwrotnym ${\displaystyle S,}$ jeżeli

${\displaystyle \pi _{\varrho }^{\sigma }(x_{\sigma })=x_{\varrho }}$

dla wszystkich ${\displaystyle \sigma ,\varrho }$ o tej własności, że ${\displaystyle \varrho \leqslant \sigma .}$

Granicą odwrotną systemu odwrotnego ${\displaystyle S}$ nazywa się zbiór wszystkich jego nici (jest to podzbiór iloczynu kartezjańskiego wszystkich zbiorów ${\displaystyle X_{\sigma }}$) i oznacza przez

${\displaystyle \lim _{\longleftarrow }\{X_{\sigma },\pi _{\varrho }^{\sigma },\Sigma \}.}$

Granice systemów odwrotnych przestrzeni topologicznych

Granica odwrotna systemu odwrotnego przestrzeni topologicznych jest przestrzenią topologiczną z topologią dziedziczoną z produktu przestrzeni ${\displaystyle X_{\sigma }}$ (przestrzenie topologiczne są obiektami kategorii Top, w której morfizmami są odwzorowania ciągłe). Ponadto:

• granica systemu odwrotnego przestrzeni Hausdorffa jest podzbiorem domkniętym produktu tych przestrzeni, a więc na mocy twierdzenia Tichonowa, granica systemu zwartych przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią zwartą Hausdorffa.
• granica systemu odwrotnego przestrzeni typu T_i jest przestrzenią typu ${\displaystyle T_{i}}$ dla ${\displaystyle i\leqslant 3{\tfrac {1}{2}}.}$
• granica systemu odwrotnego przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta.
• granica systemu odwrotnego przestrzeni zerowymiarowych Lindelöfa nie musi być przestrzenią zerowymiarową^[4].
• bazą granicy odwrotnej systemu ${\displaystyle \{X_{\sigma },\pi _{\varrho }^{\sigma },\Sigma \}}$ jest rodzina zbiorów postaci ${\displaystyle \pi _{\sigma }^{-1}(U_{\sigma }),}$ gdzie ${\displaystyle \sigma }$ przebiega dowolny współkońcowy podzbiór zbioru ${\displaystyle \Sigma ,}$ a ${\displaystyle U_{\sigma }}$ jest otwartym podzbiorem przestrzeni ${\displaystyle X_{\sigma }.}$
• każda zwarta przestrzeń Hausdorffa jest granicą systemu odwrotnego zwartych przestrzeni metrycznych, przy czym wspomniane przestrzenie metryczne zwarte mogą być wybrane spośród zwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowych^[5].
• każde continuum jednowymiarowe jest granicą systemu odwrotnego grafów.

Przypisy

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1976, s. 134–141.