Grupa Hopfa

Grupa Hopfa – grupa, która nie jest izomorficzna ze swoją grupą ilorazową przez nietrywialną podgrupę normalną. Nazwa pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Heinza Hopfa.

Definicja

Grupę ${\displaystyle G}$ nazywamy grupą Hopfa, jeżeli każdy epiendomorfizm w ${\displaystyle G}$ jest automorfizmem.

Grupa ${\displaystyle G}$ nie jest grupą Hopfa (non-Hopfian group), jeżeli istnieje taki epiendomorfizm w ${\displaystyle G,}$ który nie jest automorfizmem (posiada nietrywialne jądro ${\displaystyle N}$).

Niech ${\displaystyle G}$ będzie dowolną grupą oraz ${\displaystyle H}$ jej nietrywialną podgrupą. Jeżeli ${\displaystyle G\simeq G/H,}$ to grupa ${\displaystyle G}$ nie jest grupą Hopfa.

Przykłady

• Każda skończona grupa jest grupą Hopfa.
• Skończenie generowana rezydualnie skończona grupa jest grupą Hopfa.
• Skończona wolna polinilpotentna grupa jest grupą Hopfa.
• Grupa wolna skończenie generowana jest grupą Hopfa.
• Grupa wolna nieskończenie generowana nie jest grupą Hopfa.
• ${\displaystyle \mathbb {C} _{p^{\infty }}\simeq \mathbb {C} _{p^{\infty }}/\mathbb {C} _{p},}$ gdzie ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ jest grupą pierwiastków z jedynki stopnia ${\displaystyle p}$ będącego liczbą pierwszą.
• ${\displaystyle C^{*}/\{1,-1\}\simeq C^{*}.}$

Zobacz też

• grupa ilorazowa

Bibliografia

• Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.
• A. Karras, W. Magnus, D. Solitar, Combinatorial group theory, John Wiley & Sons, 1966.
• H. Neumann, Varieties of groups, Springer-Verlag, New York, 1967.