Grupa SO(2)

Grupa SO(2), specjalna grupa ortogonalna rzędu 2 – grupa macierzy ortogonalnych stopnia 2 o wyznaczniku 1. Macierze te mają postać

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}},}$

gdzie:

${\displaystyle x,y\in R}$ oraz ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ (ostatni warunek gwarantuje, że ${\displaystyle \det M=1}$).

Działaniem grupowym jest operacja mnożenia macierzy.

Parametryzacja grupy SO(2)

Grupa ta jest parametryzowalna przez parametr ${\displaystyle \phi \in [0,2\pi ]{:}}$

${\displaystyle M(\phi )={\begin{pmatrix}\cos(\phi )&-\sin(\phi )\\\sin(\phi )&\cos(\phi )\end{pmatrix}}.}$

Parametrowi ${\displaystyle \phi }$ można nadać sens kąta obrotu na płaszczyźnie. Grupa SO(2) jest więc grupą obrotów na płaszczyźnie.

Grupa macierzy SO(2) jest izomorficzna z grupą liczb zespolonych o module 1, tj. z grupą liczb postaci ${\displaystyle e^{i\phi }.}$

Grupa Liego SO(2)

Grupa macierzy SO(2) z nawiasem Liego zadanym przez komutator

${\displaystyle \left[A_{1},A_{2}\right]=A_{1}A_{2}-A_{2}A_{1}}$

staje się grupą Liego ${\displaystyle SO(2).}$ Generatorem tej grupy jest macierz

${\displaystyle G={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}.}$

Każdą macierz grupy ${\displaystyle SO(2)}$ wymiaru ${\displaystyle 2\times 2}$ można otrzymać z eksponenty generatora, mnożonego przez parametr ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle M(\phi )=e^{\phi \,G}.}$

Zobacz też

• grupa obrotów
• macierz obrotu
• macierz ortogonalna

Bibliografia

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1997.