Grupa abelowa wolna

Grupa abelowa wolna – grupa abelowa będąca zarazem algebrą wolną. Grupa abelowa jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy ma podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako kombinacja liniowa o współczynnikach całkowitych elementów tego zbioru. Podobnie jak w przypadku przestrzeni liniowych, zbiór taki nazywany jest bazą. Z punktu widzenia teorii modułów, grupy abelowe wolne są modułami wolnymi nad pierścieniem liczb całkowitych.

Własności

• Grupy abelowe wolne są algebrami wolnymi, a więc w szczególności każde dwie bazy abelowej grupy wolnej są równoliczne. Moc dowolnej bazy grupy abelowej wolnej nazywamy jej rangą.
• Dla każdej liczby kardynalnej ${\displaystyle \kappa }$ istnieje grupa abelowa wolna rangi ${\displaystyle \kappa .}$
• Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą abelową wolną oraz ${\displaystyle A}$ grupą abelową. Jeżeli istnieje epimorfizm ${\displaystyle h\colon A\to G,}$ to istnieje podgrupa ${\displaystyle F}$ grupy ${\displaystyle A}$ izomorficzna z grupą ${\displaystyle G}$ taka, że ${\displaystyle A=F\oplus \ker h.}$
• Każda grupa abelowa ${\displaystyle A}$ jest obrazem homomorficznym pewnej grupy abelowej wolnej. Ponadto, jeśli grupa ${\displaystyle A}$ ma zbiór generatorów mocy ${\displaystyle \kappa ,}$ to jest ona obrazem homomorficznym grupy abelowej wolnej rangi ${\displaystyle \kappa .}$ Twierdzenie to pociąga wniosek, że każda grupa abelowa jest izomorficzna z grupą ilorazową pewnej grupy abelowej wolnej.
• Podgrupa grupy abelowej wolnej jest wolną grupą abelową.

Przykłady

• Grupa ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ liczb całkowitych z dodawaniem. Bazami tej grupy są zbiory ${\displaystyle \{1\},\{-1\}.}$
• Suma prosta ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} ,}$ na mocy indukcji matematycznej przykład ten uogólnia się na skończoną rodzinę grup izomorficznych z ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• Grupa addytywna pierścienia wielomianów o współczynnikach całkowitych. Bazą tej grupy jest np. zbiór ${\displaystyle \{1,x,x^{2},x^{3},\dots \}.}$
• Zewnętrzna suma prosta dowolnej rodziny grup abelowych wolnych jest grupą abelową wolną.
• Grupa Baera-Speckera, czyli iloczyn przeliczalnie wielu egzemplarzy ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ nie jest abelową grupą wolną^[1], jednak każda jej przeliczalna podgrupa jest^[2].

Przypisy