Grupa alternująca

Grupa alternująca (rzadziej: grupa naprzemienna) – grupa parzystych permutacji pewnego zbioru skończonego^[1].

Definicja

Grupą alternującą nazywamy jądro homomorfizmu ${\displaystyle f\colon S_{n}\to \{1,-1\}}$ danego wzorem

${\displaystyle f(\sigma )={\begin{cases}1,&{\mbox{gdy }}\sigma {\mbox{ jest parzysta}}\\-1,&{\mbox{gdy }}\sigma {\mbox{ jest nieparzysta}}\end{cases}}.}$

Dla grupy symetrycznej rzędu ${\displaystyle n}$ mówimy również o grupie alternującej stopnia ${\displaystyle n}$. Grupę taką oznacza się symbolami ${\displaystyle A_{n}}$ lub ${\displaystyle \operatorname {Alt} (n).}$

Przykłady i własności

• Grupą alternującą stopnia 4 jest

  ${\displaystyle A_{4}=\{\operatorname {id} ,\;(123),\;(132),\;(124),\;(142),\;(134),\;(143),\;(234),\;(243),\;(12)(34),\;(13)(24),\;(14)(23)\};}$

w szczególności grupa ta ma 12 elementów, lecz żaden z nich nie jest rzędu 4 – przykład ten pokazuje, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a jest (w ogólności) fałszywe.

• Dla ${\displaystyle n>1,}$ grupa ${\displaystyle A_{n}}$ jest podgrupą normalną grupy symetrycznej ${\displaystyle S_{n}}$ o ${\displaystyle {\tfrac {n!}{2}}}$ elementach.
• Grupa ${\displaystyle A_{n}}$ jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle n\leqslant 3;}$ jest grupą prostą wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle n=3}$ lub ${\displaystyle n\geqslant 5}$^[1].
• ${\displaystyle A_{5}}$ (rzędu 60) jest najmniejszą nierozwiązalną grupą i najmniejszą nieprzemienną grupą prostą.
• Podgrupa alternująca ${\displaystyle A_{n}}$ jest generowana przez wszystkie cykle długości 3 grupy symetrycznej ${\displaystyle S_{n}.}$

Zobacz też

• grupa symetryczna
• podgrupa normalna
• silnia

Przypisy

Bibliografia

• Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 43.