Grupa diedralna

Płatki śniegu przejawiają symetrię dwuścienną sześciokąta foremnego.

Grupa diedralna^[a] – grupa izometrii płaszczyznowych wielokąta foremnego przekształcająca go na siebie (tzw. „izometrii własnych”) albo ogólniej: dowolna grupa o strukturze identycznej ze strukturą grupy symetrii tego wielokąta (tzn. z nią izomorficzną). Można ją także traktować jako grupę izometrii parzystych (tzn. zachowujących orientację) dwuścianu foremnego w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej: symetriom wielokąta odpowiadają obroty przestrzeni trójwymiarowej.

Ponieważ dla ${\displaystyle n\geqslant 3}$ grupa symetrii ${\displaystyle n}$-kąta foremnego ma ${\displaystyle 2n}$ elementów, to spotyka się dwa sposoby oznaczania tej grupy: symbolem ${\displaystyle \mathrm {D} _{n},}$ który wyróżnia liczbę krawędzi wielokąta (tj. stopień) oraz ${\displaystyle \mathrm {D} _{2n},}$ gdzie kładzie się nacisk na liczbę jej elementów (tj. rząd) – w dalszej części artykułu stosowana będzie pierwsza z notacji.

Definicję można rozszerzyć również na mniejsze od ${\displaystyle 3}$ liczby naturalne: jeśli ${\displaystyle n=2,}$ to utożsamia się ją z grupą czwórkową Kleina; gdy ${\displaystyle n=1,}$ to grupa ta jest izomorficzna z dwuelementową grupą cykliczną ${\displaystyle 2}$ (jedyną grupą tego rzędu); dla ${\displaystyle n=0}$ przyjmuje się, iż jest to grupa trywialna.

Elementy i generatory

Grupa diedralna trójkąta równobocznego składa się z trzech obrotów (o 120°, 240° i 360°) wokół środka tego trójkąta zamieniających cyklicznie kolory wierzchołków i trzech symetrii osiowych (przechodzących przez każdy wierzchołek i środek przeciwległego boku) zamieniających kolory dwóch wierzchołków przy zachowaniu koloru trzeciego – można wyobrażać je sobie jako obrót o 180° wokół osi symetrii w przestrzeni trójwymiarowej.

Niech ${\displaystyle n\geqslant 2}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {r} }$ oznacza obrót płaszczyzny o kąt ${\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }}{n}}}$ wokół ustalonego jej punktu ${\displaystyle p,}$ zaś ${\displaystyle \mathrm {s} }$ będzie jej dowolną symetrią osiową przechodzącą przez ${\displaystyle p.}$ Ponieważ ${\displaystyle k}$-krotne złożenie ${\displaystyle \mathrm {r} }$ ze sobą jest w istocie obrotem o ${\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }\cdot k}{n}};}$ w szczególności ${\displaystyle n}$-krotne złożenie ${\displaystyle \mathrm {r} }$ jest obrotem o kąt pełny, który jest identycznością, tzn. ${\displaystyle \mathrm {r} ^{n}=\mathrm {id} ,}$ to ${\displaystyle \mathrm {r} }$ jest elementem rzędu ${\displaystyle n}$ grupy ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}.}$ Podobnie ${\displaystyle \mathrm {s} }$ jest elementem rzędu drugiego, gdyż ${\displaystyle \mathrm {s} ^{2}=\mathrm {id} }$ (z punktu widzenia teorii grup symetria osiowa jest więc transpozycją; z punktu widzenia geometrii jest inwolucją, gdyż sama stanowi swoją odwrotność). O wyniku złożenia obrotu ${\displaystyle \mathrm {r} }$ z symetrią osiową ${\displaystyle \mathrm {s} }$ można myśleć na kilka sposobów:

• symetria osiowa zmienia orientację płaszczyzny na przeciwną, zatem obrót nią poprzedzony będzie odbywał się w przeciwnym kierunku niż wyjściowy, kolejna symetria osiowa przywraca orientację płaszczyzny – w ten sposób

${\displaystyle \mathrm {srs} ^{-1}=\mathrm {srs} =\mathrm {r} ^{-1};}$

• z drugiej strony obrót „wybiera” oś symetrii po nim zastosowanej, kolejny obrót „przywracający” pierwotną oś musi być odwrotny ze względu na przyłożoną symetrię, a więc identyczny z pierwszym obrotem, tzn.

${\displaystyle \mathrm {s} =\mathrm {r} ^{-1}\mathrm {sr} ^{-1};}$

• podobnie rozumując można uzasadnić tożsamość

${\displaystyle \mathrm {rs} =\mathrm {sr} ^{-1}}$

mówiącą o tym, że obrót poprzedzony symetrią daje ten sam wynik, co symetria poprzedzona obrotem w przeciwnym kierunku. W szczególności dla ${\displaystyle n\geqslant 3}$ grupa ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ nie jest abelowa (przemienna), gdyż wtedy ${\displaystyle \mathrm {r} \neq \mathrm {r} ^{-1}.}$

Rozpatrując wyłącznie przekształcenia obrotów wokół wspólnego punktu i symetrii o osiach przechodzących przez ten wyróżniony punkt, jak ma to miejsce w wyżej opisywanej sytuacji, można zauważyć, że złożenie dwóch obrotów bądź dwóch symetrii jest obrotem, a złożenie symetrii z obrotem bądź obrotu z symetrią jest symetrią – w ten sposób przekształcenia tworzą zbiór zamknięty ze względu na ich składanie. Ponieważ składanie jest łączne, a każde ze składanych przekształceń ma przekształcenie do niego odwrotne, to przekształcenia te tworzą grupę. Dokładniej: z danego obrotu ${\displaystyle \mathrm {r} }$ można uzyskać ${\displaystyle n}$ obrotów (wliczając w to sam obrót ${\displaystyle \mathrm {r} }$ i obrót trywialny ${\displaystyle \mathrm {id} }$) poprzez składanie ich ze sobą, a składając symetrię ${\displaystyle \mathrm {s} }$ z tymi obrotami otrzymuje się ${\displaystyle n}$ symetrii (wliczając w to symetrię ${\displaystyle \mathrm {s} }$ przy obrocie trywialnym ${\displaystyle \mathrm {id} }$), to grupa tych przekształceń ma ${\displaystyle 2n}$ elementów postaci ${\displaystyle \mathrm {r} ,\mathrm {r} ^{2},\dots ,\mathrm {r} ^{n},\mathrm {sr} ,\mathrm {sr} ^{2},\dots ,\mathrm {sr} ^{n},}$ gdzie ${\displaystyle \mathrm {r} ^{n}=\mathrm {id} }$ oraz ${\displaystyle \mathrm {sr} ^{n}=\mathrm {s} .}$

Wspomniana grupa może być rozpatrywana jako podgrupa grupy wszystkich symetrii ${\displaystyle n}$-kąta foremnego. Jak pokazano wyżej, jest ona generowana przez obrót ${\displaystyle \mathrm {r} }$ rzędu ${\displaystyle n}$ i symetrię ${\displaystyle \mathrm {s} }$ rzędu ${\displaystyle 2}$ bądź przez dwie symetrie ${\displaystyle \mathrm {s} ,\mathrm {rs} }$ rzędu ${\displaystyle 2}$^[b].

Własności i charakteryzacja

Rozkład grupy na klasy sprzężoności, tzn. podzbiory elementów zamkniętych ze względu na branie sprzężeń (automorfizmów wewnętrznych), zależy od jej stopnia ${\displaystyle n}$^[c]:

• dla nieparzystego:

  ${\displaystyle \{\mathrm {id} \},\left\{\mathrm {r} ^{\pm 1}\right\},\dots ,\left\{\mathrm {r} ^{\pm (n-1)/2}\right\},\left\{\mathrm {r} ^{i}s\colon 0\leqslant i<n\right\};}$

• dla parzystego:

  ${\displaystyle \{\mathrm {id} \},\left\{\mathrm {r} ^{\pm 1}\right\},\dots ,\left\{\mathrm {r} ^{\pm (n/2-1)}\right\},\left\{\mathrm {r} ^{n/2}\right\},\left\{\mathrm {r} ^{2i}s\colon 0\leqslant i<{\tfrac {n}{2}}\right\},\left\{\mathrm {r} ^{2i+1}s\colon 0\leqslant i<{\tfrac {n}{2}}\right\}.}$

Parzyste izometrie własne foremnego dwuścianu sześciokątnego na sferze (tj. przedstawionego jako wielościan sferyczny) tworzą grupę o tej samej strukturze, co grupa wszystkich izometrii własnych sześciokąta foremnego.

Klasy te mają odpowiednio ${\displaystyle 1,2,\dots ,2,n}$ oraz ${\displaystyle 1,2,\dots ,2,1,n/2,n/2}$ elementów. Dla ${\displaystyle n\geqslant 3}$ centrum grupy ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ jest trywialne w przypadku nieparzystym i równe ${\displaystyle \left\{\mathrm {id} ,\mathrm {r} ^{n/2}\right\}}$ w przypadku parzystym^[d]. Wynika stąd, że jeśli ${\displaystyle n\geqslant 6}$ jest dwukrotnością liczby nieparzystej, to ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}\simeq \mathrm {D} _{n/2}\times \mathbb {Z} _{2}}$^[e][f]; w ogólności ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ jest zawsze izomorficzna z iloczynem półprostym ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\rtimes \mathbb {Z} _{2}.}$ Komutant grupy ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ to ${\displaystyle \langle r^{2}\rangle }$^[g][h].

Jeśli ${\displaystyle G=\langle a,b\rangle }$ (z elementem neutralnym ${\displaystyle e}$), gdzie ${\displaystyle a^{n}=e}$ dla pewnego ${\displaystyle n\geqslant 3}$ oraz ${\displaystyle b^{2}=e,}$ a ponadto ${\displaystyle bab^{-1}=a^{-1},}$ to istnieje epimorfizm ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}\to G;}$ jeśli ${\displaystyle |G|=2n,}$ to epimorfizm ten jest izomorfizmem^[i]. Wspomniany epimorfizm jest wyznaczony jednoznacznie, zatem ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ jest uniwersalna jako grupa o dwóch generatorach spełniających jedno z trzech równań z poprzedniej sekcji. Z twierdzenia tego wynika istnienie reprezentacji ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ w postaci grupy macierzy stopnia ${\displaystyle 2}$ nad ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n},}$ mianowicie zbiór macierzy

${\displaystyle {\tilde {\mathrm {D} _{n}}}=\left\{{\begin{bmatrix}\pm 1&c\\0&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {Z} _{n}\right\}}$

tworzy podgrupę pełnej grupy liniowej ${\displaystyle \mathrm {GL} (2,\mathbb {Z} _{n});}$ grupę tę można również przedstawić za pomocą wielomianów nad ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ postaci ${\displaystyle \mathrm {f} (x)=\varepsilon x+c,}$ gdzie ${\displaystyle \varepsilon =\pm 1,}$ a wyraz ${\displaystyle c}$ jest dowolny – składanie tego rodzaju wielomianów liniowych odpowiada mnożeniu powyższych macierzy; przedstawienia tego nie należy mylić z geometryczną reprezentacją ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ jako podgrupy ${\displaystyle \mathrm {GL} (2,\mathbb {R} )}$ w postaci izometrii własnych ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ generowaną za pomocą macierzy obrotu i odbicia,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos {\tfrac {2\pi }{n}}&-\sin {\tfrac {2\pi }{n}}\\\sin {\tfrac {2\pi }{n}}&\ \ \cos {\tfrac {2\pi }{n}}\end{bmatrix}},\qquad {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}};}$

macierze te, traktowane jako liczby zespolone, odpowiadają pierwiastkowi pierwotnemu z jedynki stopnia ${\displaystyle n}$ oraz sprzężeniu zespolonemu tworzącym grupę (z działaniem mnożenia zespolonego) izomorficzną z ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}.}$

Jak opisano to w poprzedniej sekcji, grupa diedralna może być generowana przez dwa elementy rzędu ${\displaystyle 2.}$ Niech ${\displaystyle G=\langle x,y\rangle ,}$ przy czym ${\displaystyle x^{2}=y^{2}=e.}$ Jeśli ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle y}$ komutują (tzn. ${\displaystyle xy=yx}$), to ${\displaystyle G=\{e,x,y,xy\}}$ – grupa ta jest izomorficzna z grupą czwórkową, o ile ${\displaystyle x\neq y;}$ w przeciwnym przypadku ${\displaystyle G=\{e,x\}=\langle x\rangle }$ jest grupą cykliczną rzędu ${\displaystyle 2.}$ Jeżeli ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ nie komutują, to ${\displaystyle G}$ ma strukturę grupy diedralnej, tzn. jeśli ${\displaystyle G}$ jest skończoną grupą nieabelową generowaną przez dwa elementy rzędu ${\displaystyle 2,}$ to jest ona izomorficzna z grupą diedralną. Na podstawie tych dwóch obserwacji można przyjąć następującą definicję:

Ogólna definicja grupy diedralnej

Grupa skończona generowana przez dwa elementy drugiego rzędu.

Większość własności z poprzedniej sekcji obowiązuje dla ${\displaystyle n>0,}$ a nie tylko ${\displaystyle n\geqslant 3}$ – wyjątkami są stwierdzenie dotyczące postaci centrum oraz modelu ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ nad ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n};}$ ponadto ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ nie można wtedy zanurzyć w ${\displaystyle \mathrm {S} _{n},}$ gdyż ${\displaystyle 2n>n!}$ dla ${\displaystyle n\leqslant 2.}$

W dowolnej grupie skończonej zawierającej dwa elementy ${\displaystyle x,y}$ rzędu ${\displaystyle 2}$ element ${\displaystyle x}$ musi być sprzężony z ${\displaystyle y,}$ bądź ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ komutują ze wspólnym elementem rzędu ${\displaystyle 2.}$ Dowolny nietrywialny obraz homomorficzny grupy diedralnej jest grupą diedralną.

Struktura podgrup

Dowolna podgrupa grupy ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ jest:

• cykliczna, postaci ${\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{d}\rangle ,}$ gdzie ${\displaystyle d|n,}$ i indeksu ${\displaystyle 2d;}$ bądź
• diedralna, postaci ${\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{d},\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} \rangle ,}$ gdzie ${\displaystyle d|n}$ oraz ${\displaystyle 0\leqslant i<d,}$ i indeksu ${\displaystyle d;}$

postaci podgrup są przy tym jednoznaczne. Jeśli ${\displaystyle n}$ jest nieparzysta i ${\displaystyle m|2n,}$ to istnieje ${\displaystyle m}$ podgrup ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ indeksu ${\displaystyle m}$ dla nieparzystej ${\displaystyle m}$ (sprzężonych z ${\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{m},\mathrm {s} \rangle }$) oraz jedna podgrupa ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ indeksu ${\displaystyle m}$ dla parzystego ${\displaystyle m}$ (równej ${\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{m/2}\rangle }$), a ponadto jeżeli ${\displaystyle n}$ jest parzysta i ${\displaystyle m|2n,}$ to

• jeśli ${\displaystyle m}$ jest nieparzysta, to istnieje ${\displaystyle m}$ podgrup grupy ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ indeksu ${\displaystyle m}$ (sprzężonych z ${\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{m},\mathrm {s} \rangle }$),
• jeśli ${\displaystyle m}$ jest parzysta i nie dzieli ${\displaystyle n,}$ to istnieje tylko jedna podgrupa grupy ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ indeksu ${\displaystyle m}$ (równa ${\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{m/2}\rangle }$),
• jeśli ${\displaystyle m}$ jest parzysta i ${\displaystyle m|n,}$ to istnieje ${\displaystyle m+1}$ podgrup grupy ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ indeksu ${\displaystyle m}$ (i dowolna podgrupa indeksu ${\displaystyle m}$ jest równa ${\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{m/2}\rangle }$ bądź sprzężona z dokładnie jedną z grup ${\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{m},\mathrm {s} \rangle }$ lub ${\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{m},\mathrm {rs} \rangle }$).

Wynika stąd, że jeżeli ${\displaystyle n}$ jest nieparzysta, to właściwymi podgrupami normalnymi w ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ są ${\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{d}\rangle }$ dla ${\displaystyle d|n}$ − są to grupy parzystego indeksu – a jeżeli ${\displaystyle n}$ jest parzysta, to właściwymi podgrupami normalnymi w ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ są ${\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{d}\rangle }$ indeksu ${\displaystyle d,}$ gdy ${\displaystyle d|n}$ oraz ${\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {s} \rangle }$ i ${\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {rs} \rangle }$ indeksu ${\displaystyle 2.}$ W szczególności istnieje przynajmniej jedna podgrupa normalna każdego indeksu w ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ poza trzema podgrupami normalnymi ${\displaystyle \langle \mathrm {r} \rangle ,\langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {s} \rangle ,\langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {rs} \rangle }$ indeksu ${\displaystyle 2}$ dla parzystego ${\displaystyle n.}$

Łączna liczba podgrup w ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 3}$ wynosi ${\displaystyle d(n)+\sigma (n),}$ gdzie ${\displaystyle d(n)}$ oznacza liczbę wszystkich dzielników liczby ${\displaystyle n,}$ zaś ${\displaystyle \sigma (n)}$ oznacza ich sumę (zob. liczba dzielników i suma dzielników).

Uwagi