Grupa doskonała

Grupa doskonała – grupa pokrywająca się ze swoim komutantem lub równoważnie grupa niemająca nietrywialnych ilorazów abelowych. O grupach takich można myśleć jako o „wyjątkowo nieprzemiennych”.

Definicja

Grupa ${\displaystyle G}$ jest doskonała, jeżeli zachodzi ${\displaystyle [G,G]=G.}$

Własności

• Jeżeli ${\displaystyle G}$ jest doskonała, a ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ jest normalną podgrupą cykliczną, to ${\displaystyle K\leqslant Z(G)}$

Przykłady

• Najmniejsza (nietrywialna) grupa doskonała to grupa alternująca ${\displaystyle A_{5}.}$
• Ogólniej, każda nieprzemienna grupa prosta jest doskonała, ponieważ komutant jest podgrupą normalną z przemiennym ilorazem.
• Każda grupa acykliczna jest doskonała, twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: ${\displaystyle A_{5}}$ jest doskonała, ale nie jest acykliczna (nie jest nawet superdoskonała).

Zobacz też

• abelianizacja

Bibliografia

• A. Jon Berrick, Jonathan A. Hillman, Perfect and acyclic subgroups of finitely presentable groups, „Journal of the London Mathematical Society” (2) 68 (2003), nr 3, s. 683–698.
• A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.