Grupa modularna

Ten artykuł od 2011-04 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Grupa modularna ${\displaystyle \Gamma }$ (Gamma) – grupa o bogatej strukturze, stanowiąca obiekt zainteresowania i badań w wielu dziedzinach matematyki, m.in. w teorii liczb, teorii reprezentacji i geometrii algebraicznej. ${\displaystyle \Gamma }$ można zdefiniować w terminach przekształceń geometrycznych lub macierzy.

Definicja

Grupa modularna ${\displaystyle \Gamma }$ zdefiniowana jest jako zbiór liniowych przekształceń ułamkowych (przekształceń Möbiusa) górnej półpłaszczyzny zespolonej na siebie,

${\displaystyle f(\tau )={\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},}$

gdzie ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }$ oraz ${\displaystyle ad-bc=1.}$

Działaniem grupowym jest składanie funkcji. ${\displaystyle \Gamma }$ jest izomorficzna jako grupa ze specjalną rzutową grupą liniową ${\displaystyle {\mbox{PSL}}(2,\mathbb {Z} ),}$ która jest ilorazem 2-wymiarowej specjalnej grupy liniowej nad liczbami całkowitymi ${\displaystyle {\mbox{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$ przez jej centrum ${\displaystyle \{I,-I\}.}$ Innymi słowy, ${\displaystyle {\mbox{PSL}}(2,\mathbb {Z} )}$ jest grupą macierzy (działaniem jest mnożenie) postaci

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

gdzie ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }$ oraz ${\displaystyle \det \ M=ad-bc=1,}$ przy czym utożsamiamy ze sobą macierze ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle -A.}$