Grupa okręgu

Grupa okręgu – podgrupa ${\displaystyle \mathbb {T} }$ grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych złożona ze wszystkich liczb o module równym 1;

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mathbb {T} &=&\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\},\\&=&\{e^{it}\colon t\in \mathbb {R} \}.\end{array}}}$

W grupie ${\displaystyle \mathbb {T} ,}$ jako podgrupie grupy multiplikatywnej ciała ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ działaniem jest zwykłe mnożenie liczb zespolonych, a elementem neutralnym jest ${\displaystyle 1=e^{0}.}$ Grupa okręgu w naturalny sposób daje się utożsamić z grupą obrotów płaszczyzny wokół ustalonego punktu, zwykle początku, z działaniem ich składania. Grupa ta pełni istotną rolę w teorii grup Liego.

Traktując płaszczyznę jako rzeczywistą przestrzeń liniową bądź jako przestrzeń unitarną (euklidesową) grupę okręgu można utożsamiać z grupą przekształceń liniowych, lub odpowiednio, przekształceń unitarnych o wyznaczniku 1 (z działaniem ich składania).

Przestrzeń produktowa dwóch kopii grupy okręgu jest homeomorficzna z torusem (2-torusem ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$), a zatem okrąg może być interpretowany jako 1-torus, skąd pochodzi oznaczenie ${\displaystyle \mathbb {T} .}$

Własności

Ilustracja działania w grupie okręgu, które odpowiada dodawaniu miar kątów środkowych (mających wspólne ramię) zgodnie z arytmetyką modularną o module ${\displaystyle 360^{\circ }=2\pi .}$

• Grupa okręgu jest przemienna, ponieważ mnożenie liczb zespolonych jest przemienne.
• Grupa okręgu jest podzielna (injektywna).
• Grupa okręgu ma naturalną strukturę grupy topologicznej z topologią indukowaną z płaszczyzny zespolonej. Ponieważ okrąg jednostkowy jest domkniętym i ograniczonym podzbiorem płaszczyzny zespolonej, z twierdzenia Heinego-Borela wynika, że grupa okręgu jest zwarta.
• Grupa okręgu jest izomorficzna (jako grupa topologiczna) z grupą ilorazową ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} .}$

Dowód. Odwzorowanie ${\displaystyle h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {T} }$ dane wzorem ${\displaystyle h(x)=e^{2\pi ix}(x\in \mathbb {R} )}$ jest ciągłym, suriektywnym homomorfizmem grup, którego jądrem jest ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Podgrupa ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ grupy ${\displaystyle \mathbb {R} }$ jest domknięta, a zatem z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie dla grup topologicznych, odwzorowanie ${\displaystyle H\colon \mathbb {R} /\mathbb {Z} \to \mathbb {T} }$ dane wzorem ${\displaystyle H([x])=h(x),}$ gdzie ${\displaystyle [x]\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ jest homeomorficznym izomorfizmem grup.

• Grupa okręgu jest grupą Liego, której przestrzeń styczna w 1 może być utożsamiana z prostą urojoną płaszczyzny. Odwzorowanie wykładnicze dla tej grupy Liego dane jest wzorem

${\displaystyle it\mapsto \exp(it)=e^{it}=\cos t+i\sin t;}$

przekształcenie to jest przykładem (pod)grupy jednoparametrowej.

Dualność Pontriagina pomiędzy grupą okręgu a grupą liczb całkowitych

Grupa okręgu jest zwarta, więc grupa dualna do ${\displaystyle \mathbb {T} ,}$ złożona z ciągłych homomorfizmów do ${\displaystyle \mathbb {T} }$ jest dyskretna. Co więcej

${\displaystyle {\hat {\mathbb {T} }}\cong \mathbb {Z} ,}$

a zatem z dualności Pontriagina także

${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}\cong \mathbb {T} .}$

Powyższe twierdzenie jest jednym z podstawowych faktów w analizie harmonicznej. Można je udowodnić w oparciu o twierdzenie orzekające, że każdy ciągły homomorfizm ${\displaystyle \chi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {T} }$ jest postaci

${\displaystyle \chi (x)=e^{2\pi ixy}\quad (x\in \mathbb {R} )}$

dla pewnej liczby rzeczywistej ${\displaystyle y.}$ Wynika stąd, że każdy ciągły homomorfizm ${\displaystyle \chi \colon \mathbb {T} \to \mathbb {T} }$ jest postaci ${\displaystyle \chi (z)=z^{n}}$ dla pewnego ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$ W szczególności, grupa dualna do ${\displaystyle \mathbb {T} }$ jest izomorficzna z ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

Dowód. Ponieważ istnieje izomorfizm grup topologicznych ${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,}$ wystarczy zatem rozważać ciągłe homomorfizmy z ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ do ${\displaystyle \mathbb {T} .}$

Niech ${\displaystyle \chi \colon \mathbb {R} /\mathbb {Z} \to \mathbb {T} }$ będzie ciągłym homomorfizmem oraz niech ${\displaystyle \chi '\colon \mathbb {R} \to \mathbb {T} }$ będzie jego podniesieniem do ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ tj. ${\displaystyle \chi '(x)=\chi (x{\bmod {\mathbb {Z} }}).}$ Wówczas ${\displaystyle \chi '(x)=e^{2\pi ixy}}$ dla pewnego ${\displaystyle y\in \mathbb {R} .}$ W szczególności, gdy ${\displaystyle x=1,}$ to ${\displaystyle 1=e^{2\pi iy},}$ skąd ${\displaystyle y}$ musi być liczbą całkowitą, co kończy dowód.

Bibliografia

• N. Bourbaki, Elements of mathematics. General topology, Part 2, Hermann, Paris 1966.
• Luogeng Hua: Starting with the unit circle. Springer, 1981. ISBN 978-1-4613-8138-9.