Grupa trywialna

Ten artykuł od 2021-08 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Grupa trywialna^[a] – grupa składająca się wyłącznie z jednego elementu; tego rodzaju grupy są najmniejszymi w sensie liczebności (tj. rzędu) możliwymi grupami^[b].

Przykłady

Istnieje wiele tak scharakteryzowanych grup, np.:

• grupa addytywna ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}=\{0\}}$ z działaniem dodawania modulo ${\displaystyle 1,}$
• grupa multiplikatywna ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{\times }=\{1\}}$ z działaniem mnożenia modulo ${\displaystyle 2}$ (zob. arytmetyka modularna^[c]),
• grupa pierwiastków z jedynki ${\displaystyle \mathbb {C} _{1}=\{1\}}$ nad ciałem liczb zespolonych^[d],
• grupa permutacji ${\displaystyle S_{1}=\{\mathrm {id} \}}$ zbioru jednoelementowego^[e];

wszystkie one mają tę samą strukturę, tzn. są izomorficzne.

Dzieje się tak również dlatego, że w dowolnym zbiorze jednoelementowym ${\displaystyle E=\{e\}}$ można wprowadzić jedno i tylko jedno działanie dwuargumentowe ${\displaystyle \heartsuit ,}$ które uczyniłoby z niego grupę^[f]. Wówczas wzór

${\displaystyle e\ \heartsuit \ e=e}$

opisuje wszystkie w niej zależności; w szczególności, iż ${\displaystyle e}$ pełni rolę elementu neutralnego oraz odwrotnego względem siebie. W związku z powyższym często utożsamia się wszystkie grupy jednoelementowe oznaczając je wspólnym symbolem, np. ${\displaystyle E,}$ czy ${\displaystyle \mathbf {1} }$ (w notacji multiplikatywnej) albo ${\displaystyle \mathbf {0} }$ (w notacji addytywnej).

Własności

Każda grupa trywialna jest cykliczna, gdyż jest generowana przez element neutralny (przyjmuje się również, że generuje ją także zbiór pusty). Jako taka jest ona zatem: przemienna (abelowa), a ponadto doskonała, pełna, nilpotentna oraz rozwiązalna; dodatkowo jest to jedyna grupa jednocześnie torsyjna i beztorsyjna, przyjmuje się również, że ma zerową rangę.

W dowolnej grupie można wyróżnić jedną i tylko jedną podgrupę, która sama w sobie jest grupą trywialną: składa się ona z jej elementu neutralnego i nazywa podgrupą trywialną tej grupy.

Uwagi