Grupa z operatorami

Grupa z operatorami lub ${\displaystyle \Omega }$-grupa – struktura algebraiczna będąca grupą wraz ze zbiorem endomorfizmów grupowych.

Grupy z operatorami były studiowane dogłębnie przez Emmy Noether i jej szkołę w latach 20. XX wieku. Użyła ona tego pojęcia w jej oryginalnym sformułowaniu trzech twierdzeń o izomorfizmie.

Definicja

Grupa z operatorami ${\displaystyle (G,\Omega )}$ to grupa ${\displaystyle G}$ z rodziną funkcji ${\displaystyle \Omega {:}}$

${\displaystyle \omega \colon G\to G,\quad \omega \in \Omega ,}$

które są rozdzielne względem działania grupowego. ${\displaystyle \Omega }$ nazywana jest dziedziną operatorów, a jego elementy nazywane są homotetiami ${\displaystyle G.}$

Obraz elementu ${\displaystyle g}$ grupy przy funkcji ${\displaystyle \omega }$ oznacza się ${\displaystyle g^{\omega }.}$ Rozdzielność może być wtedy wyrażona jako

${\displaystyle \forall _{\omega \in \Omega }\;\forall _{g,h\in G}\;(gh)^{\omega }=g^{\omega }h^{\omega }.}$

Podgrupa ${\displaystyle S}$ grupy ${\displaystyle G}$ nazywana jest podgrupą stabilną, ${\displaystyle \omega }$-podgrupą lub podgrupą ${\displaystyle \Omega }$-niezmienniczą, o ile zachowuje homotetie, tj.

${\displaystyle \forall _{s\in S}\;\forall _{\omega \in \Omega }\;s^{\omega }\in S.}$

Uwagi teoriokategoryjne

W teorii kategorii grupa z operatorami może być zdefiniowana jako obiekt kategorii funktorów ${\displaystyle \mathbf {Grp_{M}} ,}$ gdzie ${\displaystyle \mathbf {M} }$ jest monoidem (tzn. kategorią z jednym obiektem), a ${\displaystyle \mathbf {Grp} }$ oznacza kategorię grup. Ta definicja jest równoważna poprzedniej.

Grupa z operatorami jest także odwzorowaniem

${\displaystyle \Omega \to \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G),}$

gdzie ${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G)}$ jest zbiorem endomorfizmów grupowych ${\displaystyle G.}$

Przykłady

• Dla danej grupy ${\displaystyle G}$ struktura ${\displaystyle (G,\varnothing )}$ jest w sposób trywialny grupą z operatorami,
• Dla danego ${\displaystyle R}$-modułu ${\displaystyle M}$ grupa ${\displaystyle R}$ działa na dziedzinie operatorów ${\displaystyle M}$ przez mnożenie przez skalar. Dokładniej: każda przestrzeń liniowa jest grupą z operatorami.

Zobacz też

• działanie grupy

Bibliografia

• Bourbaki, Nicolas: Elements of Mathematics: Algebra I Chapters 1-3. Springer-Verlag, 1998. ISBN 3-540-64243-9.